Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29753 / 41330
↖ ↑ ↗
← S 42.496403°
W 16.561889°		 ← 450.35 m → S 42.496403°
W 16.556396°		 →
↑
450.37 m
↓
↑
450.37 m
↓
S 42.500453°
W 16.561889°		 ← 450.32 m →
202 814 m²		 S 42.500453°
W 16.556396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454002380371094 y=0.630653381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454002380371094 × 216)
    floor (0.454002380371094 × 65536)
    floor (29753.5)     		tx = 29753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630653381347656 × 216)
    floor (0.630653381347656 × 65536)
    floor (41330.5)     		ty = 41330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29753 / 41330 ti = "16/29753/41330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29753/41330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29753 ÷ 216
    29753 ÷ 65536     		x = 0.453994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41330 ÷ 216
    41330 ÷ 65536     		y = 0.630645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453994750976562 × 2 - 1) × π
    -0.092010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28905950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.26129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.820871469093842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28905950} λ = -0.28905950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820871469093842))-π/2
    2×atan(0.440047999127331)-π/2
    2×0.414547087619321-π/2
    0.829094175238643-1.57079632675     		φ = -0.74170215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28905950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.561889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74170215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.496403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29753 KachelY 41330 -0.28905950 -0.74170215 -16.561889 -42.496403
    Oben rechts KachelX + 1 29754 KachelY 41330 -0.28896363 -0.74170215 -16.556396 -42.496403
    Unten links KachelX 29753 KachelY + 1 41331 -0.28905950 -0.74177284 -16.561889 -42.500453
    Unten rechts KachelX + 1 29754 KachelY + 1 41331 -0.28896363 -0.74177284 -16.556396 -42.500453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74170215--0.74177284) × R
    7.06900000000399e-05 × 6371000     		dl = 450.365990000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74170215--0.74177284) × R
    7.06900000000399e-05 × 6371000     		dr = 450.365990000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28905950--0.28896363) × cos(-0.74170215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.737319750327418 × 6371000     		do = 450.345886079431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28905950--0.28896363) × cos(-0.74177284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73727199428564 × 6371000     		du = 450.316717273169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74170215)-sin(-0.74177284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737319750327418-0.73727199428564)×R²
    abs(-0.28896363--0.28905950)×4.77560417780909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77560417780909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77560417780909e-05×40589641000000     		ar = 202813.902592031m²