Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29749 / 42583
↖ ↑ ↗
← S 47.364874°
W 16.583862°		 ← 413.70 m → S 47.364874°
W 16.578369°		 →
↑
413.67 m
↓
↑
413.67 m
↓
S 47.368594°
W 16.583862°		 ← 413.67 m →
171 130 m²		 S 47.368594°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453941345214844 y=0.649772644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453941345214844 × 216)
    floor (0.453941345214844 × 65536)
    floor (29749.5)     		tx = 29749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649772644042969 × 216)
    floor (0.649772644042969 × 65536)
    floor (42583.5)     		ty = 42583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29749 / 42583 ti = "16/29749/42583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29749/42583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29749 ÷ 216
    29749 ÷ 65536     		x = 0.453933715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42583 ÷ 216
    42583 ÷ 65536     		y = 0.649765014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453933715820312 × 2 - 1) × π
    -0.092132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28944300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649765014648438 × 2 - 1) × π
    -0.299530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941001339541702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28944300} λ = -0.28944300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941001339541702))-π/2
    2×atan(0.390236880033067)-π/2
    2×0.372061664540883-π/2
    0.744123329081766-1.57079632675     		φ = -0.82667300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28944300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.583862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82667300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.364874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29749 KachelY 42583 -0.28944300 -0.82667300 -16.583862 -47.364874
    Oben rechts KachelX + 1 29750 KachelY 42583 -0.28934713 -0.82667300 -16.578369 -47.364874
    Unten links KachelX 29749 KachelY + 1 42584 -0.28944300 -0.82673793 -16.583862 -47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 29750 KachelY + 1 42584 -0.28934713 -0.82673793 -16.578369 -47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82667300--0.82673793) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dl = 413.669029999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82667300--0.82673793) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dr = 413.669029999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28944300--0.28934713) × cos(-0.82667300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677327118141245 × 6371000     		do = 413.703120050008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28944300--0.28934713) × cos(-0.82673793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 413.67394317103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82667300)-sin(-0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677327118141245-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.28934713--0.28944300)×4.77692586716705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77692586716705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77692586716705e-05×40589641000000     		ar = 171130.133653357m²