Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29749 / 42457
↖ ↑ ↗
← S 46.893986°
W 16.583862°		 ← 417.38 m → S 46.893986°
W 16.578369°		 →
↑
417.36 m
↓
↑
417.36 m
↓
S 46.897739°
W 16.583862°		 ← 417.35 m →
174 194 m²		 S 46.897739°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453941345214844 y=0.647850036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453941345214844 × 216)
    floor (0.453941345214844 × 65536)
    floor (29749.5)     		tx = 29749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647850036621094 × 216)
    floor (0.647850036621094 × 65536)
    floor (42457.5)     		ty = 42457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29749 / 42457 ti = "16/29749/42457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29749/42457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29749 ÷ 216
    29749 ÷ 65536     		x = 0.453933715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42457 ÷ 216
    42457 ÷ 65536     		y = 0.647842407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453933715820312 × 2 - 1) × π
    -0.092132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28944300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647842407226562 × 2 - 1) × π
    -0.295684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.928921240837448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28944300} λ = -0.28944300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928921240837448))-π/2
    2×atan(0.394979568459642)-π/2
    2×0.37617094056877-π/2
    0.752341881137539-1.57079632675     		φ = -0.81845445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28944300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.583862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81845445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.893986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29749 KachelY 42457 -0.28944300 -0.81845445 -16.583862 -46.893986
    Oben rechts KachelX + 1 29750 KachelY 42457 -0.28934713 -0.81845445 -16.578369 -46.893986
    Unten links KachelX 29749 KachelY + 1 42458 -0.28944300 -0.81851996 -16.583862 -46.897739
    Unten rechts KachelX + 1 29750 KachelY + 1 42458 -0.28934713 -0.81851996 -16.578369 -46.897739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81845445--0.81851996) × R
    6.55100000001019e-05 × 6371000     		dl = 417.364210000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81845445--0.81851996) × R
    6.55100000001019e-05 × 6371000     		dr = 417.364210000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28944300--0.28934713) × cos(-0.81845445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683350414455665 × 6371000     		do = 417.382075773943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28944300--0.28934713) × cos(-0.81851996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683302584757456 × 6371000     		du = 417.352861979233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81845445)-sin(-0.81851996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683350414455665-0.683302584757456)×R²
    abs(-0.28934713--0.28944300)×4.78296982099335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78296982099335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78296982099335e-05×40589641000000     		ar = 174194.243989828m²