Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29748 / 42456
↖ ↑ ↗
← S 46.890232°
W 16.589355°		 ← 417.41 m → S 46.890232°
W 16.583862°		 →
↑
417.43 m
↓
↑
417.43 m
↓
S 46.893986°
W 16.589355°		 ← 417.38 m →
174 233 m²		 S 46.893986°
W 16.583862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453926086425781 y=0.647834777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453926086425781 × 216)
    floor (0.453926086425781 × 65536)
    floor (29748.5)     		tx = 29748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647834777832031 × 216)
    floor (0.647834777832031 × 65536)
    floor (42456.5)     		ty = 42456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29748 / 42456 ti = "16/29748/42456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29748/42456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29748 ÷ 216
    29748 ÷ 65536     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42456 ÷ 216
    42456 ÷ 65536     		y = 0.6478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.928825367038208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928825367038208))-π/2
    2×atan(0.395017438466834)-π/2
    2×0.376203699415611-π/2
    0.752407398831222-1.57079632675     		φ = -0.81838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.890232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29748 KachelY 42456 -0.28953887 -0.81838893 -16.589355 -46.890232
    Oben rechts KachelX + 1 29749 KachelY 42456 -0.28944300 -0.81838893 -16.583862 -46.890232
    Unten links KachelX 29748 KachelY + 1 42457 -0.28953887 -0.81845445 -16.589355 -46.893986
    Unten rechts KachelX + 1 29749 KachelY + 1 42457 -0.28944300 -0.81845445 -16.583862 -46.893986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81838893--0.81845445) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dl = 417.427919999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81838893--0.81845445) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dr = 417.427919999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28944300) × cos(-0.81838893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683398248521694 × 6371000     		do = 417.411292236462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28944300) × cos(-0.81845445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683350414455665 × 6371000     		du = 417.382075773943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81838893)-sin(-0.81845445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683398248521694-0.683350414455665)×R²
    abs(-0.28944300--0.28953887)×4.78340660282628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78340660282628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78340660282628e-05×40589641000000     		ar = 174233.02968134m²