Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29748 / 41041
↖ ↑ ↗
← S 41.314950°
W 16.589355°		 ← 458.76 m → S 41.314950°
W 16.583862°		 →
↑
458.71 m
↓
↑
458.71 m
↓
S 41.319075°
W 16.589355°		 ← 458.73 m →
210 431 m²		 S 41.319075°
W 16.583862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453926086425781 y=0.626243591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453926086425781 × 216)
    floor (0.453926086425781 × 65536)
    floor (29748.5)     		tx = 29748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626243591308594 × 216)
    floor (0.626243591308594 × 65536)
    floor (41041.5)     		ty = 41041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29748 / 41041 ti = "16/29748/41041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29748/41041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29748 ÷ 216
    29748 ÷ 65536     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41041 ÷ 216
    41041 ÷ 65536     		y = 0.626235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.252471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.793163941113449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793163941113449))-π/2
    2×atan(0.452411126293547)-π/2
    2×0.424857210532843-π/2
    0.849714421065686-1.57079632675     		φ = -0.72108191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72108191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.314950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29748 KachelY 41041 -0.28953887 -0.72108191 -16.589355 -41.314950
    Oben rechts KachelX + 1 29749 KachelY 41041 -0.28944300 -0.72108191 -16.583862 -41.314950
    Unten links KachelX 29748 KachelY + 1 41042 -0.28953887 -0.72115391 -16.589355 -41.319075
    Unten rechts KachelX + 1 29749 KachelY + 1 41042 -0.28944300 -0.72115391 -16.583862 -41.319075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72108191--0.72115391) × R
    7.1999999999961e-05 × 6371000     		dl = 458.711999999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72108191--0.72115391) × R
    7.1999999999961e-05 × 6371000     		dr = 458.711999999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28944300) × cos(-0.72108191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751091894404363 × 6371000     		do = 458.757743248306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28944300) × cos(-0.72115391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751044358225187 × 6371000     		du = 458.728708731433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72108191)-sin(-0.72115391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751091894404363-0.751044358225187)×R²
    abs(-0.28944300--0.28953887)×4.75361791756335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75361791756335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75361791756335e-05×40589641000000     		ar = 210431.022770837m²