Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29746 / 21458
↖ ↑ ↗
← N 76.215132°
W 98.300171°		 ← 72.78 m → N 76.215132°
W 98.297424°		 →
↑
72.76 m
↓
↑
72.76 m
↓
N 76.214478°
W 98.300171°		 ← 72.78 m →
5 295 m²		 N 76.214478°
W 98.297424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226947784423828 y=0.163715362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226947784423828 × 217)
    floor (0.226947784423828 × 131072)
    floor (29746.5)     		tx = 29746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163715362548828 × 217)
    floor (0.163715362548828 × 131072)
    floor (21458.5)     		ty = 21458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29746 / 21458 ti = "17/29746/21458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29746/21458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29746 ÷ 217
    29746 ÷ 131072     		x = 0.226943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21458 ÷ 217
    21458 ÷ 131072     		y = 0.163711547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.546112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71566164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163711547851562 × 2 - 1) × π
    0.672576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11296266145284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71566164} λ = -1.71566164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11296266145284))-π/2
    2×atan(8.27271426581262)-π/2
    2×1.45050066254974-π/2
    2.90100132509949-1.57079632675     		φ = 1.33020500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71566164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33020500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.215132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29746 KachelY 21458 -1.71566164 1.33020500 -98.300171 76.215132
    Oben rechts KachelX + 1 29747 KachelY 21458 -1.71561370 1.33020500 -98.297424 76.215132
    Unten links KachelX 29746 KachelY + 1 21459 -1.71566164 1.33019358 -98.300171 76.214478
    Unten rechts KachelX + 1 29747 KachelY + 1 21459 -1.71561370 1.33019358 -98.297424 76.214478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33020500-1.33019358) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dl = 72.7568200006068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33020500-1.33019358) × R
    1.14200000000952e-05 × 6371000     		dr = 72.7568200006068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71566164--1.71561370) × cos(1.33020500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238276963006666 × 6371000     		do = 72.7759177512158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71566164--1.71561370) × cos(1.33019358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238288054063667 × 6371000     		du = 72.7793052455078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33020500)-sin(1.33019358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238276963006666-0.238288054063667)×R²
    abs(-1.71561370--1.71566164)×1.10910570013667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10910570013667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10910570013667e-05×40589641000000     		ar = 5295.06757998094m²