Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29745 / 42701
↖ ↑ ↗
← S 47.802087°
W 16.605835°		 ← 410.31 m → S 47.802087°
W 16.600342°		 →
↑
410.23 m
↓
↑
410.23 m
↓
S 47.805776°
W 16.605835°		 ← 410.28 m →
168 313 m²		 S 47.805776°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453880310058594 y=0.651573181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453880310058594 × 216)
    floor (0.453880310058594 × 65536)
    floor (29745.5)     		tx = 29745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651573181152344 × 216)
    floor (0.651573181152344 × 65536)
    floor (42701.5)     		ty = 42701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29745 / 42701 ti = "16/29745/42701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29745/42701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29745 ÷ 216
    29745 ÷ 65536     		x = 0.453872680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42701 ÷ 216
    42701 ÷ 65536     		y = 0.651565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453872680664062 × 2 - 1) × π
    -0.092254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28982650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.303131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952314447852036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28982650} λ = -0.28982650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952314447852036))-π/2
    2×atan(0.385846966546615)-π/2
    2×0.368246263795203-π/2
    0.736492527590405-1.57079632675     		φ = -0.83430380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28982650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.605835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83430380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.802087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29745 KachelY 42701 -0.28982650 -0.83430380 -16.605835 -47.802087
    Oben rechts KachelX + 1 29746 KachelY 42701 -0.28973062 -0.83430380 -16.600342 -47.802087
    Unten links KachelX 29745 KachelY + 1 42702 -0.28982650 -0.83436819 -16.605835 -47.805776
    Unten rechts KachelX + 1 29746 KachelY + 1 42702 -0.28973062 -0.83436819 -16.600342 -47.805776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83430380--0.83436819) × R
    6.43899999999142e-05 × 6371000     		dl = 410.228689999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83430380--0.83436819) × R
    6.43899999999142e-05 × 6371000     		dr = 410.228689999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28982650--0.28973062) × cos(-0.83430380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671693610591577 × 6371000     		do = 410.305036136377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28982650--0.28973062) × cos(-0.83436819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671645907216107 × 6371000     		du = 410.27589645887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83430380)-sin(-0.83436819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671693610591577-0.671645907216107)×R²
    abs(-0.28973062--0.28982650)×4.77033754702205e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77033754702205e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77033754702205e-05×40589641000000     		ar = 168312.920566928m²