Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29745 / 41043
↖ ↑ ↗
← S 41.323201°
W 16.605835°		 ← 458.75 m → S 41.323201°
W 16.600342°		 →
↑
458.71 m
↓
↑
458.71 m
↓
S 41.327327°
W 16.605835°		 ← 458.72 m →
210 426 m²		 S 41.327327°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453880310058594 y=0.626274108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453880310058594 × 216)
    floor (0.453880310058594 × 65536)
    floor (29745.5)     		tx = 29745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626274108886719 × 216)
    floor (0.626274108886719 × 65536)
    floor (41043.5)     		ty = 41043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29745 / 41043 ti = "16/29745/41043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29745/41043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29745 ÷ 216
    29745 ÷ 65536     		x = 0.453872680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41043 ÷ 216
    41043 ÷ 65536     		y = 0.626266479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453872680664062 × 2 - 1) × π
    -0.092254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28982650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626266479492188 × 2 - 1) × π
    -0.252532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.793355688711929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28982650} λ = -0.28982650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793355688711929))-π/2
    2×atan(0.452324385862955)-π/2
    2×0.424785205057057-π/2
    0.849570410114114-1.57079632675     		φ = -0.72122592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28982650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.605835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72122592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.323201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29745 KachelY 41043 -0.28982650 -0.72122592 -16.605835 -41.323201
    Oben rechts KachelX + 1 29746 KachelY 41043 -0.28973062 -0.72122592 -16.600342 -41.323201
    Unten links KachelX 29745 KachelY + 1 41044 -0.28982650 -0.72129792 -16.605835 -41.327327
    Unten rechts KachelX + 1 29746 KachelY + 1 41044 -0.28973062 -0.72129792 -16.600342 -41.327327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72122592--0.72129792) × R
    7.2000000000072e-05 × 6371000     		dl = 458.712000000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72122592--0.72129792) × R
    7.2000000000072e-05 × 6371000     		dr = 458.712000000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28982650--0.28973062) × cos(-0.72122592) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.750996811549539 × 6371000     		do = 458.747513810282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28982650--0.28973062) × cos(-0.72129792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.750949267583241 × 6371000     		du = 458.718471508104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72122592)-sin(-0.72129792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750996811549539-0.750949267583241)×R²
    abs(-0.28973062--0.28982650)×4.75439662979138e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75439662979138e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75439662979138e-05×40589641000000     		ar = 210426.32861962m²