Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29745 / 21459
↖ ↑ ↗
← N 76.214478°
W 98.302917°		 ← 72.76 m → N 76.214478°
W 98.300171°		 →
↑
72.82 m
↓
↑
72.82 m
↓
N 76.213823°
W 98.302917°		 ← 72.77 m →
5 299 m²		 N 76.213823°
W 98.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226940155029297 y=0.163722991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226940155029297 × 217)
    floor (0.226940155029297 × 131072)
    floor (29745.5)     		tx = 29745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163722991943359 × 217)
    floor (0.163722991943359 × 131072)
    floor (21459.5)     		ty = 21459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29745 / 21459 ti = "17/29745/21459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29745/21459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29745 ÷ 217
    29745 ÷ 131072     		x = 0.226936340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21459 ÷ 217
    21459 ÷ 131072     		y = 0.163719177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226936340332031 × 2 - 1) × π
    -0.546127319335938 × 3.1415926535     		Λ = -1.71570957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163719177246094 × 2 - 1) × π
    0.672561645507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.11291472455322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71570957} λ = -1.71570957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11291472455322))-π/2
    2×atan(8.27231770704425)-π/2
    2×1.45049495128733-π/2
    2.90098990257466-1.57079632675     		φ = 1.33019358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71570957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.302917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33019358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.214478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29745 KachelY 21459 -1.71570957 1.33019358 -98.302917 76.214478
    Oben rechts KachelX + 1 29746 KachelY 21459 -1.71566164 1.33019358 -98.300171 76.214478
    Unten links KachelX 29745 KachelY + 1 21460 -1.71570957 1.33018215 -98.302917 76.213823
    Unten rechts KachelX + 1 29746 KachelY + 1 21460 -1.71566164 1.33018215 -98.300171 76.213823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33019358-1.33018215) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dl = 72.8205300002196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33019358-1.33018215) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dr = 72.8205300002196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71570957--1.71566164) × cos(1.33019358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238288054063667 × 6371000     		do = 72.7641239136757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71570957--1.71566164) × cos(1.33018215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23829915480151 × 6371000     		du = 72.7675136575178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33019358)-sin(1.33018215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238288054063667-0.23829915480151)×R²
    abs(-1.71566164--1.71570957)×1.11007378426065e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11007378426065e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11007378426065e-05×40589641000000     		ar = 5298.84548972328m²