Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29744 / 21905
↖ ↑ ↗
← N 75.919530°
W 98.305664°		 ← 74.31 m → N 75.919530°
W 98.302917°		 →
↑
74.29 m
↓
↑
74.29 m
↓
N 75.918862°
W 98.305664°		 ← 74.31 m →
5 520 m²		 N 75.918862°
W 98.302917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226932525634766 y=0.167125701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226932525634766 × 217)
    floor (0.226932525634766 × 131072)
    floor (29744.5)     		tx = 29744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167125701904297 × 217)
    floor (0.167125701904297 × 131072)
    floor (21905.5)     		ty = 21905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29744 / 21905 ti = "17/29744/21905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29744/21905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29744 ÷ 217
    29744 ÷ 131072     		x = 0.2269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21905 ÷ 217
    21905 ÷ 131072     		y = 0.167121887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167121887207031 × 2 - 1) × π
    0.665756225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.09153486732267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71575751} λ = -1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09153486732267))-π/2
    2×atan(8.09733396456463)-π/2
    2×1.4479210503845-π/2
    2.895842100769-1.57079632675     		φ = 1.32504577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32504577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.919530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29744 KachelY 21905 -1.71575751 1.32504577 -98.305664 75.919530
    Oben rechts KachelX + 1 29745 KachelY 21905 -1.71570957 1.32504577 -98.302917 75.919530
    Unten links KachelX 29744 KachelY + 1 21906 -1.71575751 1.32503411 -98.305664 75.918862
    Unten rechts KachelX + 1 29745 KachelY + 1 21906 -1.71570957 1.32503411 -98.302917 75.918862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32504577-1.32503411) × R
    1.16599999999689e-05 × 6371000     		dl = 74.285859999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32504577-1.32503411) × R
    1.16599999999689e-05 × 6371000     		dr = 74.285859999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71575751--1.71570957) × cos(1.32504577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243284399561157 × 6371000     		do = 74.3053177663733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71575751--1.71570957) × cos(1.32503411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.243295709219912 × 6371000     		du = 74.3087720272678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32504577)-sin(1.32503411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243284399561157-0.243295709219912)×R²
    abs(-1.71570957--1.71575751)×1.13096587552042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13096587552042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13096587552042e-05×40589641000000     		ar = 5519.9627343774m²