Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29744 / 17969
↖ ↑ ↗
← N 62.792423°
W 16.611328°		 ← 279.26 m → N 62.792423°
W 16.605835°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 62.789912°
W 16.611328°		 ← 279.29 m →
77 985 m²		 N 62.789912°
W 16.605835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453865051269531 y=0.274192810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453865051269531 × 216)
    floor (0.453865051269531 × 65536)
    floor (29744.5)     		tx = 29744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274192810058594 × 216)
    floor (0.274192810058594 × 65536)
    floor (17969.5)     		ty = 17969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29744 / 17969 ti = "16/29744/17969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29744/17969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29744 ÷ 216
    29744 ÷ 65536     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17969 ÷ 216
    17969 ÷ 65536     		y = 0.274185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274185180664062 × 2 - 1) × π
    0.451629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41883635495442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41883635495442))-π/2
    2×atan(4.13230910043691)-π/2
    2×1.33336543043316-π/2
    2.66673086086633-1.57079632675     		φ = 1.09593453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09593453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.792423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29744 KachelY 17969 -0.28992237 1.09593453 -16.611328 62.792423
    Oben rechts KachelX + 1 29745 KachelY 17969 -0.28982650 1.09593453 -16.605835 62.792423
    Unten links KachelX 29744 KachelY + 1 17970 -0.28992237 1.09589070 -16.611328 62.789912
    Unten rechts KachelX + 1 29745 KachelY + 1 17970 -0.28982650 1.09589070 -16.605835 62.789912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09593453-1.09589070) × R
    4.3830000000078e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09593453-1.09589070) × R
    4.3830000000078e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28982650) × cos(1.09593453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457215539707332 × 6371000     		do = 279.261659907182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28982650) × cos(1.09589070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457254519738068 × 6371000     		du = 279.28546843323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09593453)-sin(1.09589070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457215539707332-0.457254519738068)×R²
    abs(-0.28982650--0.28992237)×3.89800307359911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89800307359911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89800307359911e-05×40589641000000     		ar = 77984.6097958285m²