Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29744 / 13680
↖ ↑ ↗
← N 71.773941°
W 16.611328°		 ← 191.03 m → N 71.773941°
W 16.605835°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 71.772223°
W 16.611328°		 ← 191.05 m →
36 502 m²		 N 71.772223°
W 16.605835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453865051269531 y=0.208747863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453865051269531 × 216)
    floor (0.453865051269531 × 65536)
    floor (29744.5)     		tx = 29744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208747863769531 × 216)
    floor (0.208747863769531 × 65536)
    floor (13680.5)     		ty = 13680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29744 / 13680 ti = "16/29744/13680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29744/13680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29744 ÷ 216
    29744 ÷ 65536     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13680 ÷ 216
    13680 ÷ 65536     		y = 0.208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208740234375 × 2 - 1) × π
    0.58251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83003907989526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83003907989526))-π/2
    2×atan(6.23413028292279)-π/2
    2×1.4117439574983-π/2
    2.82348791499659-1.57079632675     		φ = 1.25269159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25269159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.773941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29744 KachelY 13680 -0.28992237 1.25269159 -16.611328 71.773941
    Oben rechts KachelX + 1 29745 KachelY 13680 -0.28982650 1.25269159 -16.605835 71.773941
    Unten links KachelX 29744 KachelY + 1 13681 -0.28992237 1.25266160 -16.611328 71.772223
    Unten rechts KachelX + 1 29745 KachelY + 1 13681 -0.28982650 1.25266160 -16.605835 71.772223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25269159-1.25266160) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25269159-1.25266160) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28982650) × cos(1.25269159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312766945767353 × 6371000     		do = 191.034225334948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28982650) × cos(1.25266160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312795431025378 × 6371000     		du = 191.051623782175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25269159)-sin(1.25266160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312766945767353-0.312795431025378)×R²
    abs(-0.28982650--0.28992237)×2.84852580249573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84852580249573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84852580249573e-05×40589641000000     		ar = 36501.8628292855m²