Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29742 / 42443
↖ ↑ ↗
← S 46.841407°
W 16.622315°		 ← 417.83 m → S 46.841407°
W 16.616821°		 →
↑
417.81 m
↓
↑
417.81 m
↓
S 46.845165°
W 16.622315°		 ← 417.81 m →
174 569 m²		 S 46.845165°
W 16.616821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453834533691406 y=0.647636413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453834533691406 × 216)
    floor (0.453834533691406 × 65536)
    floor (29742.5)     		tx = 29742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647636413574219 × 216)
    floor (0.647636413574219 × 65536)
    floor (42443.5)     		ty = 42443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29742 / 42443 ti = "16/29742/42443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29742/42443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29742 ÷ 216
    29742 ÷ 65536     		x = 0.453826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42443 ÷ 216
    42443 ÷ 65536     		y = 0.647628784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29011412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647628784179688 × 2 - 1) × π
    -0.295257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.927579007648087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29011412} λ = -0.29011412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927579007648087))-π/2
    2×atan(0.395510079100396)-π/2
    2×0.376629773089821-π/2
    0.753259546179642-1.57079632675     		φ = -0.81753678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29011412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.622315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81753678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.841407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29742 KachelY 42443 -0.29011412 -0.81753678 -16.622315 -46.841407
    Oben rechts KachelX + 1 29743 KachelY 42443 -0.29001824 -0.81753678 -16.616821 -46.841407
    Unten links KachelX 29742 KachelY + 1 42444 -0.29011412 -0.81760236 -16.622315 -46.845165
    Unten rechts KachelX + 1 29743 KachelY + 1 42444 -0.29001824 -0.81760236 -16.616821 -46.845165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81753678--0.81760236) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dl = 417.810180000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81753678--0.81760236) × R
    6.55800000000095e-05 × 6371000     		dr = 417.810180000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29011412--0.29001824) × cos(-0.81753678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684020108825664 × 6371000     		do = 417.834695825886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29011412--0.29001824) × cos(-0.81760236) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683972269161269 × 6371000     		du = 417.805472896087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81753678)-sin(-0.81760236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684020108825664-0.683972269161269)×R²
    abs(-0.29001824--0.29011412)×4.78396643958101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78396643958101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78396643958101e-05×40589641000000     		ar = 174569.484717315m²