Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29741 / 42434
↖ ↑ ↗
← S 46.807580°
W 16.627808°		 ← 418.05 m → S 46.807580°
W 16.622315°		 →
↑
418.07 m
↓
↑
418.07 m
↓
S 46.811339°
W 16.627808°		 ← 418.02 m →
174 768 m²		 S 46.811339°
W 16.622315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453819274902344 y=0.647499084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453819274902344 × 216)
    floor (0.453819274902344 × 65536)
    floor (29741.5)     		tx = 29741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647499084472656 × 216)
    floor (0.647499084472656 × 65536)
    floor (42434.5)     		ty = 42434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29741 / 42434 ti = "16/29741/42434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29741/42434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29741 ÷ 216
    29741 ÷ 65536     		x = 0.453811645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42434 ÷ 216
    42434 ÷ 65536     		y = 0.647491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453811645507812 × 2 - 1) × π
    -0.092376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29020999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.29498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.926716143454926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29020999} λ = -0.29020999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926716143454926))-π/2
    2×atan(0.395851497863516)-π/2
    2×0.37692497419626-π/2
    0.753849948392521-1.57079632675     		φ = -0.81694638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29020999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.627808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81694638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.807580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29741 KachelY 42434 -0.29020999 -0.81694638 -16.627808 -46.807580
    Oben rechts KachelX + 1 29742 KachelY 42434 -0.29011412 -0.81694638 -16.622315 -46.807580
    Unten links KachelX 29741 KachelY + 1 42435 -0.29020999 -0.81701200 -16.627808 -46.811339
    Unten rechts KachelX + 1 29742 KachelY + 1 42435 -0.29011412 -0.81701200 -16.622315 -46.811339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81694638--0.81701200) × R
    6.56199999999885e-05 × 6371000     		dl = 418.065019999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81694638--0.81701200) × R
    6.56199999999885e-05 × 6371000     		dr = 418.065019999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29020999--0.29011412) × cos(-0.81694638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684450664630646 × 6371000     		do = 418.054095124761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29020999--0.29011412) × cos(-0.81701200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684402822293684 × 6371000     		du = 418.024873610456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81694638)-sin(-0.81701200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684450664630646-0.684402822293684)×R²
    abs(-0.29011412--0.29020999)×4.78423369626446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78423369626446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78423369626446e-05×40589641000000     		ar = 174767.685455718m²