Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29740 / 41044
↖ ↑ ↗
← S 41.327327°
W 16.633301°		 ← 458.67 m → S 41.327327°
W 16.627808°		 →
↑
458.65 m
↓
↑
458.65 m
↓
S 41.331451°
W 16.633301°		 ← 458.64 m →
210 362 m²		 S 41.331451°
W 16.627808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453804016113281 y=0.626289367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453804016113281 × 216)
    floor (0.453804016113281 × 65536)
    floor (29740.5)     		tx = 29740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626289367675781 × 216)
    floor (0.626289367675781 × 65536)
    floor (41044.5)     		ty = 41044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29740 / 41044 ti = "16/29740/41044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29740/41044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29740 ÷ 216
    29740 ÷ 65536     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41044 ÷ 216
    41044 ÷ 65536     		y = 0.62628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.2525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793451562511169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793451562511169))-π/2
    2×atan(0.452281021884361)-π/2
    2×0.424749205737712-π/2
    0.849498411475424-1.57079632675     		φ = -0.72129792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72129792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.327327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29740 KachelY 41044 -0.29030586 -0.72129792 -16.633301 -41.327327
    Oben rechts KachelX + 1 29741 KachelY 41044 -0.29020999 -0.72129792 -16.627808 -41.327327
    Unten links KachelX 29740 KachelY + 1 41045 -0.29030586 -0.72136991 -16.633301 -41.331451
    Unten rechts KachelX + 1 29741 KachelY + 1 41045 -0.29020999 -0.72136991 -16.627808 -41.331451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72129792--0.72136991) × R
    7.19899999999107e-05 × 6371000     		dl = 458.648289999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72129792--0.72136991) × R
    7.19899999999107e-05 × 6371000     		dr = 458.648289999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.29020999) × cos(-0.72129792) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.750949267583241 × 6371000     		do = 458.670628530557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.29020999) × cos(-0.72136991) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.750901726328162 × 6371000     		du = 458.641590913384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72129792)-sin(-0.72136991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750949267583241-0.750901726328162)×R²
    abs(-0.29020999--0.29030586)×4.75412550789978e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.75412550789978e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.75412550789978e-05×40589641000000     		ar = 210361.840512542m²