Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2974 / 3434
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
W 49.306641°		 ← 4 317.85 m → N 27.916766°
W 49.262695°		 →
↑
4 318.58 m
↓
↑
4 318.58 m
↓
N 27.877928°
W 49.306641°		 ← 4 319.40 m →
18 650 319 m²		 N 27.877928°
W 49.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36309814453125 y=0.41925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36309814453125 × 213)
    floor (0.36309814453125 × 8192)
    floor (2974.5)     		tx = 2974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41925048828125 × 213)
    floor (0.41925048828125 × 8192)
    floor (3434.5)     		ty = 3434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2974 / 3434 ti = "13/2974/3434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2974/3434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2974 ÷ 213
    2974 ÷ 8192     		x = 0.363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3434 ÷ 213
    3434 ÷ 8192     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86056322} λ = -0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2974 KachelY 3434 -0.86056322 0.48723949 -49.306641 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 2975 KachelY 3434 -0.85979623 0.48723949 -49.262695 27.916766
    Unten links KachelX 2974 KachelY + 1 3435 -0.86056322 0.48656164 -49.306641 27.877928
    Unten rechts KachelX + 1 2975 KachelY + 1 3435 -0.85979623 0.48656164 -49.262695 27.877928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48656164) × R
    0.00067784999999998 × 6371000     		dl = 4318.58234999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48656164) × R
    0.00067784999999998 × 6371000     		dr = 4318.58234999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86056322--0.85979623) × cos(0.48723949) × R
    0.000766989999999912 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 4317.84553045698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86056322--0.85979623) × cos(0.48656164) × R
    0.000766989999999912 × 0.883945821045196 × 6371000     		du = 4319.39532326039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48656164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.883945821045196)×R²
    abs(-0.85979623--0.86056322)×0.000317158483894686×R²
    0.000766989999999912×0.000317158483894686×6371000²
    0.000766989999999912×0.000317158483894686×40589641000000     		ar = 18650318.6659017m²