Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29739 / 42438
↖ ↑ ↗
← S 46.822617°
W 16.638794°		 ← 417.98 m → S 46.822617°
W 16.633301°		 →
↑
417.94 m
↓
↑
417.94 m
↓
S 46.826376°
W 16.638794°		 ← 417.95 m →
174 684 m²		 S 46.826376°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453788757324219 y=0.647560119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453788757324219 × 216)
    floor (0.453788757324219 × 65536)
    floor (29739.5)     		tx = 29739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647560119628906 × 216)
    floor (0.647560119628906 × 65536)
    floor (42438.5)     		ty = 42438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29739 / 42438 ti = "16/29739/42438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29739/42438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29739 ÷ 216
    29739 ÷ 65536     		x = 0.453781127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42438 ÷ 216
    42438 ÷ 65536     		y = 0.647552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453781127929688 × 2 - 1) × π
    -0.092437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29040174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.29510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.927099638651886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29040174} λ = -0.29040174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927099638651886))-π/2
    2×atan(0.395699719820311)-π/2
    2×0.376793750771602-π/2
    0.753587501543203-1.57079632675     		φ = -0.81720883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29040174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.638794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81720883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.822617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29739 KachelY 42438 -0.29040174 -0.81720883 -16.638794 -46.822617
    Oben rechts KachelX + 1 29740 KachelY 42438 -0.29030586 -0.81720883 -16.633301 -46.822617
    Unten links KachelX 29739 KachelY + 1 42439 -0.29040174 -0.81727443 -16.638794 -46.826376
    Unten rechts KachelX + 1 29740 KachelY + 1 42439 -0.29030586 -0.81727443 -16.633301 -46.826376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81720883--0.81727443) × R
    6.5599999999999e-05 × 6371000     		dl = 417.937599999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81720883--0.81727443) × R
    6.5599999999999e-05 × 6371000     		dr = 417.937599999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.81720883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684259299478616 × 6371000     		do = 417.980805790244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.81727443) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684211459941799 × 6371000     		du = 417.951582938376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81720883)-sin(-0.81727443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684259299478616-0.684211459941799)×R²
    abs(-0.29030586--0.29040174)×4.78395368174178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78395368174178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78395368174178e-05×40589641000000     		ar = 174683.788216458m²