Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29739 / 41337
↖ ↑ ↗
← S 42.524748°
W 16.638794°		 ← 450.19 m → S 42.524748°
W 16.633301°		 →
↑
450.11 m
↓
↑
450.11 m
↓
S 42.528796°
W 16.638794°		 ← 450.16 m →
202 628 m²		 S 42.528796°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453788757324219 y=0.630760192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453788757324219 × 216)
    floor (0.453788757324219 × 65536)
    floor (29739.5)     		tx = 29739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630760192871094 × 216)
    floor (0.630760192871094 × 65536)
    floor (41337.5)     		ty = 41337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29739 / 41337 ti = "16/29739/41337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29739/41337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29739 ÷ 216
    29739 ÷ 65536     		x = 0.453781127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41337 ÷ 216
    41337 ÷ 65536     		y = 0.630752563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453781127929688 × 2 - 1) × π
    -0.092437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29040174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630752563476562 × 2 - 1) × π
    -0.261505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.821542585688522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29040174} λ = -0.29040174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821542585688522))-π/2
    2×atan(0.439752774688751)-π/2
    2×0.414299729946107-π/2
    0.828599459892214-1.57079632675     		φ = -0.74219687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29040174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.638794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74219687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.524748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29739 KachelY 41337 -0.29040174 -0.74219687 -16.638794 -42.524748
    Oben rechts KachelX + 1 29740 KachelY 41337 -0.29030586 -0.74219687 -16.633301 -42.524748
    Unten links KachelX 29739 KachelY + 1 41338 -0.29040174 -0.74226752 -16.638794 -42.528796
    Unten rechts KachelX + 1 29740 KachelY + 1 41338 -0.29030586 -0.74226752 -16.633301 -42.528796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74219687--0.74226752) × R
    7.06499999999499e-05 × 6371000     		dl = 450.111149999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74219687--0.74226752) × R
    7.06499999999499e-05 × 6371000     		dr = 450.111149999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.74219687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.736985455024987 × 6371000     		do = 450.188655940452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.74226752) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.736937700242949 × 6371000     		du = 450.159484861167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74219687)-sin(-0.74226752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736985455024987-0.736937700242949)×R²
    abs(-0.29030586--0.29040174)×4.77547820375568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77547820375568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77547820375568e-05×40589641000000     		ar = 202628.368612559m²