Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29739 / 41115
↖ ↑ ↗
← S 41.619549°
W 16.638794°		 ← 456.66 m → S 41.619549°
W 16.633301°		 →
↑
456.61 m
↓
↑
456.61 m
↓
S 41.623655°
W 16.638794°		 ← 456.63 m →
208 506 m²		 S 41.623655°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453788757324219 y=0.627372741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453788757324219 × 216)
    floor (0.453788757324219 × 65536)
    floor (29739.5)     		tx = 29739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627372741699219 × 216)
    floor (0.627372741699219 × 65536)
    floor (41115.5)     		ty = 41115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29739 / 41115 ti = "16/29739/41115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29739/41115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29739 ÷ 216
    29739 ÷ 65536     		x = 0.453781127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41115 ÷ 216
    41115 ÷ 65536     		y = 0.627365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453781127929688 × 2 - 1) × π
    -0.092437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29040174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.254730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.800258602257217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29040174} λ = -0.29040174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800258602257217))-π/2
    2×atan(0.449212781656039)-π/2
    2×0.422199081884401-π/2
    0.844398163768803-1.57079632675     		φ = -0.72639816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29040174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.638794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72639816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.619549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29739 KachelY 41115 -0.29040174 -0.72639816 -16.638794 -41.619549
    Oben rechts KachelX + 1 29740 KachelY 41115 -0.29030586 -0.72639816 -16.633301 -41.619549
    Unten links KachelX 29739 KachelY + 1 41116 -0.29040174 -0.72646983 -16.638794 -41.623655
    Unten rechts KachelX + 1 29740 KachelY + 1 41116 -0.29030586 -0.72646983 -16.633301 -41.623655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72639816--0.72646983) × R
    7.16699999999681e-05 × 6371000     		dl = 456.609569999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72639816--0.72646983) × R
    7.16699999999681e-05 × 6371000     		dr = 456.609569999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.72639816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.747571521215284 × 6371000     		do = 456.655170140172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29040174--0.29030586) × cos(-0.72646983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.747523917420415 × 6371000     		du = 456.626091291623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72639816)-sin(-0.72646983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747571521215284-0.747523917420415)×R²
    abs(-0.29030586--0.29040174)×4.7603794868456e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7603794868456e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7603794868456e-05×40589641000000     		ar = 208506.482125m²