Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29739 / 29211
↖ ↑ ↗
← S 80.229182°
E146.722412°		 ← 207.32 m → S 80.229182°
E146.733399°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
S 80.231047°
E146.722412°		 ← 207.28 m →
42 976 m²		 S 80.231047°
E146.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907577514648438 y=0.891464233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907577514648438 × 215)
    floor (0.907577514648438 × 32768)
    floor (29739.5)     		tx = 29739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891464233398438 × 215)
    floor (0.891464233398438 × 32768)
    floor (29211.5)     		ty = 29211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29739 / 29211 ti = "15/29739/29211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29739/29211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29739 ÷ 215
    29739 ÷ 32768     		x = 0.907562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29211 ÷ 215
    29211 ÷ 32768     		y = 0.891448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907562255859375 × 2 - 1) × π
    0.81512451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56078918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.45954644570584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56078918} λ = 2.56078918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45954644570584))-π/2
    2×atan(0.0854737091450083)-π/2
    2×0.0852664668348848-π/2
    0.17053293366977-1.57079632675     		φ = -1.40026339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56078918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40026339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.229182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29739 KachelY 29211 2.56078918 -1.40026339 146.722412 -80.229182
    Oben rechts KachelX + 1 29740 KachelY 29211 2.56098093 -1.40026339 146.733399 -80.229182
    Unten links KachelX 29739 KachelY + 1 29212 2.56078918 -1.40029593 146.722412 -80.231047
    Unten rechts KachelX + 1 29740 KachelY + 1 29212 2.56098093 -1.40029593 146.733399 -80.231047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40026339--1.40029593) × R
    3.25399999998588e-05 × 6371000     		dl = 207.3123399991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40026339--1.40029593) × R
    3.25399999998588e-05 × 6371000     		dr = 207.3123399991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56078918-2.56098093) × cos(-1.40026339) × R
    0.000191749999999935 × 0.169707579403185 × 6371000     		do = 207.321440021352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56078918-2.56098093) × cos(-1.40029593) × R
    0.000191749999999935 × 0.169675511323503 × 6371000     		du = 207.28226439654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40026339)-sin(-1.40029593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169707579403185-0.169675511323503)×R²
    abs(2.56098093-2.56078918)×3.2068079682479e-05×R²
    0.000191749999999935×3.2068079682479e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.2068079682479e-05×40589641000000     		ar = 42976.2320714471m²