Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29738 / 41262
↖ ↑ ↗
← S 42.220382°
W 16.644287°		 ← 452.33 m → S 42.220382°
W 16.638794°		 →
↑
452.34 m
↓
↑
452.34 m
↓
S 42.224450°
W 16.644287°		 ← 452.30 m →
204 600 m²		 S 42.224450°
W 16.638794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453773498535156 y=0.629615783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453773498535156 × 216)
    floor (0.453773498535156 × 65536)
    floor (29738.5)     		tx = 29738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629615783691406 × 216)
    floor (0.629615783691406 × 65536)
    floor (41262.5)     		ty = 41262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29738 / 41262 ti = "16/29738/41262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29738/41262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29738 ÷ 216
    29738 ÷ 65536     		x = 0.453765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41262 ÷ 216
    41262 ÷ 65536     		y = 0.629608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.09246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29049761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.25921630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814352050745514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29049761} λ = -0.29049761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814352050745514))-π/2
    2×atan(0.44292622812205)-π/2
    2×0.416955826618586-π/2
    0.833911653237173-1.57079632675     		φ = -0.73688467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29049761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.644287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73688467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.220382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29738 KachelY 41262 -0.29049761 -0.73688467 -16.644287 -42.220382
    Oben rechts KachelX + 1 29739 KachelY 41262 -0.29040174 -0.73688467 -16.638794 -42.220382
    Unten links KachelX 29738 KachelY + 1 41263 -0.29049761 -0.73695567 -16.644287 -42.224450
    Unten rechts KachelX + 1 29739 KachelY + 1 41263 -0.29040174 -0.73695567 -16.638794 -42.224450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73688467--0.73695567) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dl = 452.340999999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73688467--0.73695567) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dr = 452.340999999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29049761--0.29040174) × cos(-0.73688467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740565601171915 × 6371000     		do = 452.328412078493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29049761--0.29040174) × cos(-0.73695567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740517888436388 × 6371000     		du = 452.29926972316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73688467)-sin(-0.73695567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740565601171915-0.740517888436388)×R²
    abs(-0.29040174--0.29049761)×4.77127355269502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77127355269502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77127355269502e-05×40589641000000     		ar = 204600.095192797m²