Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29738 / 17889
↖ ↑ ↗
← N 62.992664°
W 16.644287°		 ← 277.36 m → N 62.992664°
W 16.638794°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
N 62.990169°
W 16.644287°		 ← 277.39 m →
76 942 m²		 N 62.990169°
W 16.638794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453773498535156 y=0.272972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453773498535156 × 216)
    floor (0.453773498535156 × 65536)
    floor (29738.5)     		tx = 29738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272972106933594 × 216)
    floor (0.272972106933594 × 65536)
    floor (17889.5)     		ty = 17889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29738 / 17889 ti = "16/29738/17889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29738/17889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29738 ÷ 216
    29738 ÷ 65536     		x = 0.453765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17889 ÷ 216
    17889 ÷ 65536     		y = 0.272964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.09246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29049761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272964477539062 × 2 - 1) × π
    0.454071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42650625889363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29049761} λ = -0.29049761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42650625889363))-π/2
    2×atan(4.1641253721861)-π/2
    2×1.33511285985489-π/2
    2.67022571970978-1.57079632675     		φ = 1.09942939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29049761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.644287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09942939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.992664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29738 KachelY 17889 -0.29049761 1.09942939 -16.644287 62.992664
    Oben rechts KachelX + 1 29739 KachelY 17889 -0.29040174 1.09942939 -16.638794 62.992664
    Unten links KachelX 29738 KachelY + 1 17890 -0.29049761 1.09938585 -16.644287 62.990169
    Unten rechts KachelX + 1 29739 KachelY + 1 17890 -0.29040174 1.09938585 -16.638794 62.990169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09942939-1.09938585) × R
    4.35400000000641e-05 × 6371000     		dl = 277.393340000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09942939-1.09938585) × R
    4.35400000000641e-05 × 6371000     		dr = 277.393340000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29049761--0.29040174) × cos(1.09942939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454104579385218 × 6371000     		do = 277.361523389479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29049761--0.29040174) × cos(1.09938585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454143370847611 × 6371000     		du = 277.38521674029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09942939)-sin(1.09938585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454104579385218-0.454143370847611)×R²
    abs(-0.29040174--0.29049761)×3.87914623931618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87914623931618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87914623931618e-05×40589641000000     		ar = 76941.525561817m²