Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29737 / 42440
↖ ↑ ↗
← S 46.830134°
W 16.649781°		 ← 417.92 m → S 46.830134°
W 16.644287°		 →
↑
417.87 m
↓
↑
417.87 m
↓
S 46.833892°
W 16.649781°		 ← 417.89 m →
174 633 m²		 S 46.833892°
W 16.644287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453758239746094 y=0.647590637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453758239746094 × 216)
    floor (0.453758239746094 × 65536)
    floor (29737.5)     		tx = 29737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647590637207031 × 216)
    floor (0.647590637207031 × 65536)
    floor (42440.5)     		ty = 42440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29737 / 42440 ti = "16/29737/42440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29737/42440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29737 ÷ 216
    29737 ÷ 65536     		x = 0.453750610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42440 ÷ 216
    42440 ÷ 65536     		y = 0.6475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453750610351562 × 2 - 1) × π
    -0.092498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29059349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.295166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.927291386250366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29059349} λ = -0.29059349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927291386250366))-π/2
    2×atan(0.395623852623225)-π/2
    2×0.376728152819132-π/2
    0.753456305638264-1.57079632675     		φ = -0.81734002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29059349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.649781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81734002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.830134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29737 KachelY 42440 -0.29059349 -0.81734002 -16.649781 -46.830134
    Oben rechts KachelX + 1 29738 KachelY 42440 -0.29049761 -0.81734002 -16.644287 -46.830134
    Unten links KachelX 29737 KachelY + 1 42441 -0.29059349 -0.81740561 -16.649781 -46.833892
    Unten rechts KachelX + 1 29738 KachelY + 1 42441 -0.29049761 -0.81740561 -16.644287 -46.833892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81734002--0.81740561) × R
    6.55900000000598e-05 × 6371000     		dl = 417.873890000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81734002--0.81740561) × R
    6.55900000000598e-05 × 6371000     		dr = 417.873890000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29059349--0.29049761) × cos(-0.81734002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684163624753859 × 6371000     		do = 417.922362743027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29059349--0.29049761) × cos(-0.81740561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684115786622614 × 6371000     		du = 417.893140749756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81734002)-sin(-0.81740561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684163624753859-0.684115786622614)×R²
    abs(-0.29049761--0.29059349)×4.78381312449816e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78381312449816e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78381312449816e-05×40589641000000     		ar = 174632.737946176m²