Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29736 / 29736
↖ ↑ ↗
← S 81.160996°
E146.689453°		 ← 187.72 m → S 81.160996°
E146.700439°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
S 81.162684°
E146.689453°		 ← 187.68 m →
35 229 m²		 S 81.162684°
E146.700439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907485961914062 y=0.907485961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907485961914062 × 215)
    floor (0.907485961914062 × 32768)
    floor (29736.5)     		tx = 29736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907485961914062 × 215)
    floor (0.907485961914062 × 32768)
    floor (29736.5)     		ty = 29736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29736 / 29736 ti = "15/29736/29736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29736/29736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29736 ÷ 215
    29736 ÷ 32768     		x = 0.907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29736 ÷ 215
    29736 ÷ 32768     		y = 0.907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56021393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.81494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56021393490796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56021393} λ = 2.56021393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56021393490796))-π/2
    2×atan(0.0772882040296893)-π/2
    2×0.077134860419303-π/2
    0.154269720838606-1.57079632675     		φ = -1.41652661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56021393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41652661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.160996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29736 KachelY 29736 2.56021393 -1.41652661 146.689453 -81.160996
    Oben rechts KachelX + 1 29737 KachelY 29736 2.56040568 -1.41652661 146.700439 -81.160996
    Unten links KachelX 29736 KachelY + 1 29737 2.56021393 -1.41655607 146.689453 -81.162684
    Unten rechts KachelX + 1 29737 KachelY + 1 29737 2.56040568 -1.41655607 146.700439 -81.162684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41652661--1.41655607) × R
    2.94599999999257e-05 × 6371000     		dl = 187.689659999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41652661--1.41655607) × R
    2.94599999999257e-05 × 6371000     		dr = 187.689659999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56021393-2.56040568) × cos(-1.41652661) × R
    0.000191749999999935 × 0.153658529961406 × 6371000     		do = 187.715291298091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56021393-2.56040568) × cos(-1.41655607) × R
    0.000191749999999935 × 0.15362941976144 × 6371000     		du = 187.679729135237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41652661)-sin(-1.41655607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153658529961406-0.15362941976144)×R²
    abs(2.56040568-2.56021393)×2.9110199965543e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9110199965543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9110199965543e-05×40589641000000     		ar = 35228.8818777891m²