Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29736 / 29210
↖ ↑ ↗
← S 80.227318°
E146.689453°		 ← 207.36 m → S 80.227318°
E146.700439°		 →
↑
207.31 m
↓
↑
207.31 m
↓
S 80.229182°
E146.689453°		 ← 207.32 m →
42 984 m²		 S 80.229182°
E146.700439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907485961914062 y=0.891433715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907485961914062 × 215)
    floor (0.907485961914062 × 32768)
    floor (29736.5)     		tx = 29736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891433715820312 × 215)
    floor (0.891433715820312 × 32768)
    floor (29210.5)     		ty = 29210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29736 / 29210 ti = "15/29736/29210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29736/29210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29736 ÷ 215
    29736 ÷ 32768     		x = 0.907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29210 ÷ 215
    29210 ÷ 32768     		y = 0.89141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56021393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.7828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45935469810736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56021393} λ = 2.56021393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45935469810736))-π/2
    2×atan(0.0854901000948824)-π/2
    2×0.0852827388823689-π/2
    0.170565477764738-1.57079632675     		φ = -1.40023085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56021393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40023085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.227318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29736 KachelY 29210 2.56021393 -1.40023085 146.689453 -80.227318
    Oben rechts KachelX + 1 29737 KachelY 29210 2.56040568 -1.40023085 146.700439 -80.227318
    Unten links KachelX 29736 KachelY + 1 29211 2.56021393 -1.40026339 146.689453 -80.229182
    Unten rechts KachelX + 1 29737 KachelY + 1 29211 2.56040568 -1.40026339 146.700439 -80.229182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40023085--1.40026339) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dl = 207.312340000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40023085--1.40026339) × R
    3.25400000000808e-05 × 6371000     		dr = 207.312340000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56021393-2.56040568) × cos(-1.40023085) × R
    0.000191749999999935 × 0.169739647303173 × 6371000     		do = 207.360615426642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56021393-2.56040568) × cos(-1.40026339) × R
    0.000191749999999935 × 0.169707579403185 × 6371000     		du = 207.321440021352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40023085)-sin(-1.40026339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169739647303173-0.169707579403185)×R²
    abs(2.56040568-2.56021393)×3.20678999875534e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20678999875534e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20678999875534e-05×40589641000000     		ar = 42984.3536392549m²