Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29735 / 29739
↖ ↑ ↗
← S 81.166059°
E146.678467°		 ← 187.60 m → S 81.166059°
E146.689453°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
S 81.167746°
E146.678467°		 ← 187.56 m →
35 195 m²		 S 81.167746°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907455444335938 y=0.907577514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907455444335938 × 215)
    floor (0.907455444335938 × 32768)
    floor (29735.5)     		tx = 29735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907577514648438 × 215)
    floor (0.907577514648438 × 32768)
    floor (29739.5)     		ty = 29739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29735 / 29739 ti = "15/29735/29739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29735/29739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29735 ÷ 215
    29735 ÷ 32768     		x = 0.907440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29739 ÷ 215
    29739 ÷ 32768     		y = 0.907562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907440185546875 × 2 - 1) × π
    0.81488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.56002219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.81512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5607891777034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56002219} λ = 2.56002219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5607891777034))-π/2
    2×atan(0.0772437573321956)-π/2
    2×0.0770906774952765-π/2
    0.154181354990553-1.57079632675     		φ = -1.41661497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56002219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41661497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.166059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29735 KachelY 29739 2.56002219 -1.41661497 146.678467 -81.166059
    Oben rechts KachelX + 1 29736 KachelY 29739 2.56021393 -1.41661497 146.689453 -81.166059
    Unten links KachelX 29735 KachelY + 1 29740 2.56002219 -1.41664442 146.678467 -81.167746
    Unten rechts KachelX + 1 29736 KachelY + 1 29740 2.56021393 -1.41664442 146.689453 -81.167746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41661497--1.41664442) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41661497--1.41664442) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56002219-2.56021393) × cos(-1.41661497) × R
    0.000191739999999996 × 0.153571218724285 × 6371000     		do = 187.598844441572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56002219-2.56021393) × cos(-1.41664442) × R
    0.000191739999999996 × 0.153542118005905 × 6371000     		du = 187.563295715804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41661497)-sin(-1.41664442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153571218724285-0.153542118005905)×R²
    abs(2.56021393-2.56002219)×2.91007183793324e-05×R²
    0.000191739999999996×2.91007183793324e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.91007183793324e-05×40589641000000     		ar = 35195.0764782214m²