Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29734 / 42465
↖ ↑ ↗
← S 46.924007°
W 16.666260°		 ← 417.19 m → S 46.924007°
W 16.660766°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
S 46.927759°
W 16.666260°		 ← 417.16 m →
174 035 m²		 S 46.927759°
W 16.660766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453712463378906 y=0.647972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453712463378906 × 216)
    floor (0.453712463378906 × 65536)
    floor (29734.5)     		tx = 29734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647972106933594 × 216)
    floor (0.647972106933594 × 65536)
    floor (42465.5)     		ty = 42465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29734 / 42465 ti = "16/29734/42465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29734/42465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29734 ÷ 216
    29734 ÷ 65536     		x = 0.453704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42465 ÷ 216
    42465 ÷ 65536     		y = 0.647964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09259033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29088111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.295928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.929688231231369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29088111} λ = -0.29088111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929688231231369))-π/2
    2×atan(0.394676739073299)-π/2
    2×0.375908952337702-π/2
    0.751817904675405-1.57079632675     		φ = -0.81897842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29088111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.666260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81897842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.924007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29734 KachelY 42465 -0.29088111 -0.81897842 -16.666260 -46.924007
    Oben rechts KachelX + 1 29735 KachelY 42465 -0.29078523 -0.81897842 -16.660766 -46.924007
    Unten links KachelX 29734 KachelY + 1 42466 -0.29088111 -0.81904390 -16.666260 -46.927759
    Unten rechts KachelX + 1 29735 KachelY + 1 42466 -0.29078523 -0.81904390 -16.660766 -46.927759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81897842--0.81904390) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dl = 417.173080000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81897842--0.81904390) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dr = 417.173080000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29088111--0.29078523) × cos(-0.81897842) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682967775122667 × 6371000     		do = 417.191876225957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29088111--0.29078523) × cos(-0.81904390) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682919943890452 × 6371000     		du = 417.162658446967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81897842)-sin(-0.81904390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682967775122667-0.682919943890452)×R²
    abs(-0.29078523--0.29088111)×4.78312322159669e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78312322159669e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78312322159669e-05×40589641000000     		ar = 174035.125582835m²