Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29734 / 29222
↖ ↑ ↗
← S 80.249670°
E146.667480°		 ← 206.89 m → S 80.249670°
E146.678467°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 80.251531°
E146.667480°		 ← 206.85 m →
42 795 m²		 S 80.251531°
E146.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907424926757812 y=0.891799926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907424926757812 × 215)
    floor (0.907424926757812 × 32768)
    floor (29734.5)     		tx = 29734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891799926757812 × 215)
    floor (0.891799926757812 × 32768)
    floor (29222.5)     		ty = 29222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29734 / 29222 ti = "15/29734/29222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29734/29222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29734 ÷ 215
    29734 ÷ 32768     		x = 0.90740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29222 ÷ 215
    29222 ÷ 32768     		y = 0.89178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90740966796875 × 2 - 1) × π
    0.8148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55983044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.7835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.46165566928912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55983044} λ = 2.55983044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46165566928912))-π/2
    2×atan(0.0852936159770744)-π/2
    2×0.0850876771106322-π/2
    0.170175354221264-1.57079632675     		φ = -1.40062097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55983044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40062097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.249670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29734 KachelY 29222 2.55983044 -1.40062097 146.667480 -80.249670
    Oben rechts KachelX + 1 29735 KachelY 29222 2.56002219 -1.40062097 146.678467 -80.249670
    Unten links KachelX 29734 KachelY + 1 29223 2.55983044 -1.40065344 146.667480 -80.251531
    Unten rechts KachelX + 1 29735 KachelY + 1 29223 2.56002219 -1.40065344 146.678467 -80.251531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40062097--1.40065344) × R
    3.24699999998401e-05 × 6371000     		dl = 206.866369998981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40062097--1.40065344) × R
    3.24699999998401e-05 × 6371000     		dr = 206.866369998981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55983044-2.56002219) × cos(-1.40062097) × R
    0.000191750000000379 × 0.169355175450755 × 6371000     		do = 206.890929521688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55983044-2.56002219) × cos(-1.40065344) × R
    0.000191750000000379 × 0.169323174387892 × 6371000     		du = 206.851835767253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40062097)-sin(-1.40065344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169355175450755-0.169323174387892)×R²
    abs(2.56002219-2.55983044)×3.20010628629963e-05×R²
    0.000191750000000379×3.20010628629963e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.20010628629963e-05×40589641000000     		ar = 42794.7319883627m²