Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29734 / 29218
↖ ↑ ↗
← S 80.242225°
E146.667480°		 ← 207.05 m → S 80.242225°
E146.678467°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 80.244087°
E146.667480°		 ← 207.01 m →
42 853 m²		 S 80.244087°
E146.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907424926757812 y=0.891677856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907424926757812 × 215)
    floor (0.907424926757812 × 32768)
    floor (29734.5)     		tx = 29734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891677856445312 × 215)
    floor (0.891677856445312 × 32768)
    floor (29218.5)     		ty = 29218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29734 / 29218 ti = "15/29734/29218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29734/29218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29734 ÷ 215
    29734 ÷ 32768     		x = 0.90740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29218 ÷ 215
    29218 ÷ 32768     		y = 0.89166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90740966796875 × 2 - 1) × π
    0.8148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55983044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.7833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4608886788952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55983044} λ = 2.55983044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4608886788952))-π/2
    2×atan(0.0853590604556265)-π/2
    2×0.0851526485590742-π/2
    0.170305297118148-1.57079632675     		φ = -1.40049103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55983044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40049103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.242225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29734 KachelY 29218 2.55983044 -1.40049103 146.667480 -80.242225
    Oben rechts KachelX + 1 29735 KachelY 29218 2.56002219 -1.40049103 146.678467 -80.242225
    Unten links KachelX 29734 KachelY + 1 29219 2.55983044 -1.40052352 146.667480 -80.244087
    Unten rechts KachelX + 1 29735 KachelY + 1 29219 2.56002219 -1.40052352 146.678467 -80.244087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40049103--1.40052352) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40049103--1.40052352) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55983044-2.56002219) × cos(-1.40049103) × R
    0.000191750000000379 × 0.169483237048342 × 6371000     		do = 207.047374595718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55983044-2.56002219) × cos(-1.40052352) × R
    0.000191750000000379 × 0.169451216989445 × 6371000     		du = 207.008257634982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40049103)-sin(-1.40052352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169483237048342-0.169451216989445)×R²
    abs(2.56002219-2.55983044)×3.20200588967423e-05×R²
    0.000191750000000379×3.20200588967423e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.20200588967423e-05×40589641000000     		ar = 42853.4722968654m²