Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29733 / 42968
↖ ↑ ↗
← S 48.777913°
W 16.671753°		 ← 402.50 m → S 48.777913°
W 16.666260°		 →
↑
402.52 m
↓
↑
402.52 m
↓
S 48.781533°
W 16.671753°		 ← 402.47 m →
162 007 m²		 S 48.781533°
W 16.666260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453697204589844 y=0.655647277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453697204589844 × 216)
    floor (0.453697204589844 × 65536)
    floor (29733.5)     		tx = 29733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655647277832031 × 216)
    floor (0.655647277832031 × 65536)
    floor (42968.5)     		ty = 42968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29733 / 42968 ti = "16/29733/42968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29733/42968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29733 ÷ 216
    29733 ÷ 65536     		x = 0.453689575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42968 ÷ 216
    42968 ÷ 65536     		y = 0.6556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453689575195312 × 2 - 1) × π
    -0.092620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29097698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29097698} λ = -0.29097698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977912752249146))-π/2
    2×atan(0.37609528420821)-π/2
    2×0.359730573489634-π/2
    0.719461146979269-1.57079632675     		φ = -0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29097698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.671753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29733 KachelY 42968 -0.29097698 -0.85133518 -16.671753 -48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 29734 KachelY 42968 -0.29088111 -0.85133518 -16.666260 -48.777913
    Unten links KachelX 29733 KachelY + 1 42969 -0.29097698 -0.85139836 -16.671753 -48.781533
    Unten rechts KachelX + 1 29734 KachelY + 1 42969 -0.29088111 -0.85139836 -16.666260 -48.781533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85133518--0.85139836) × R
    6.31800000000515e-05 × 6371000     		dl = 402.519780000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85133518--0.85139836) × R
    6.31800000000515e-05 × 6371000     		dr = 402.519780000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29097698--0.29088111) × cos(-0.85133518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 402.496596885522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29097698--0.29088111) × cos(-0.85139836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658931940491086 × 6371000     		du = 402.467570514314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85133518)-sin(-0.85139836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.658931940491086)×R²
    abs(-0.29088111--0.29097698)×4.75228428500341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75228428500341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75228428500341e-05×40589641000000     		ar = 162006.999838735m²