Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29733 / 29740
↖ ↑ ↗
← S 81.167746°
E146.656494°		 ← 187.57 m → S 81.167746°
E146.667480°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
S 81.169433°
E146.656494°		 ← 187.54 m →
35 166 m²		 S 81.169433°
E146.667480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907394409179688 y=0.907608032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907394409179688 × 215)
    floor (0.907394409179688 × 32768)
    floor (29733.5)     		tx = 29733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907608032226562 × 215)
    floor (0.907608032226562 × 32768)
    floor (29740.5)     		ty = 29740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29733 / 29740 ti = "15/29733/29740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29733/29740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29733 ÷ 215
    29733 ÷ 32768     		x = 0.907379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29740 ÷ 215
    29740 ÷ 32768     		y = 0.9075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907379150390625 × 2 - 1) × π
    0.81475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55963869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55963869} λ = 2.55963869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56098092530188))-π/2
    2×atan(0.0772289474471549)-π/2
    2×0.0770759554340172-π/2
    0.154151910868034-1.57079632675     		φ = -1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55963869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29733 KachelY 29740 2.55963869 -1.41664442 146.656494 -81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 29734 KachelY 29740 2.55983044 -1.41664442 146.667480 -81.167746
    Unten links KachelX 29733 KachelY + 1 29741 2.55963869 -1.41667385 146.656494 -81.169433
    Unten rechts KachelX + 1 29734 KachelY + 1 29741 2.55983044 -1.41667385 146.667480 -81.169433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41664442--1.41667385) × R
    2.9430000000108e-05 × 6371000     		dl = 187.498530000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41664442--1.41667385) × R
    2.9430000000108e-05 × 6371000     		dr = 187.498530000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55963869-2.55983044) × cos(-1.41664442) × R
    0.000191749999999935 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 187.573077884082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55963869-2.55983044) × cos(-1.41667385) × R
    0.000191749999999935 × 0.153513036917291 × 6371000     		du = 187.537551284798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41664442)-sin(-1.41667385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.153513036917291)×R²
    abs(2.55983044-2.55963869)×2.90810886144355e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90810886144355e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90810886144355e-05×40589641000000     		ar = 35166.3457813021m²