Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29732 / 40744
↖ ↑ ↗
← S 40.078071°
W 16.677246°		 ← 467.36 m → S 40.078071°
W 16.671753°		 →
↑
467.38 m
↓
↑
467.38 m
↓
S 40.082274°
W 16.677246°		 ← 467.33 m →
218 424 m²		 S 40.082274°
W 16.671753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453681945800781 y=0.621711730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453681945800781 × 216)
    floor (0.453681945800781 × 65536)
    floor (29732.5)     		tx = 29732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621711730957031 × 216)
    floor (0.621711730957031 × 65536)
    floor (40744.5)     		ty = 40744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29732 / 40744 ti = "16/29732/40744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29732/40744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29732 ÷ 216
    29732 ÷ 65536     		x = 0.45367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40744 ÷ 216
    40744 ÷ 65536     		y = 0.6217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29107285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.764689422739136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29107285} λ = -0.29107285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764689422739136))-π/2
    2×atan(0.465478475556951)-π/2
    2×0.435651011276576-π/2
    0.871302022553153-1.57079632675     		φ = -0.69949430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29107285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.677246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69949430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.078071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29732 KachelY 40744 -0.29107285 -0.69949430 -16.677246 -40.078071
    Oben rechts KachelX + 1 29733 KachelY 40744 -0.29097698 -0.69949430 -16.671753 -40.078071
    Unten links KachelX 29732 KachelY + 1 40745 -0.29107285 -0.69956766 -16.677246 -40.082274
    Unten rechts KachelX + 1 29733 KachelY + 1 40745 -0.29097698 -0.69956766 -16.671753 -40.082274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69949430--0.69956766) × R
    7.33600000000223e-05 × 6371000     		dl = 467.376560000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69949430--0.69956766) × R
    7.33600000000223e-05 × 6371000     		dr = 467.376560000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29107285--0.29097698) × cos(-0.69949430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765167870357543 × 6371000     		do = 467.355177211322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29107285--0.29097698) × cos(-0.69956766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765120636869375 × 6371000     		du = 467.326327574415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69949430)-sin(-0.69956766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765167870357543-0.765120636869375)×R²
    abs(-0.29097698--0.29107285)×4.72334881679304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72334881679304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72334881679304e-05×40589641000000     		ar = 218424.113299159m²