Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29731 / 42437
↖ ↑ ↗
← S 46.818858°
W 16.682739°		 ← 418.01 m → S 46.818858°
W 16.677246°		 →
↑
418 m
↓
↑
418 m
↓
S 46.822617°
W 16.682739°		 ← 417.98 m →
174 723 m²		 S 46.822617°
W 16.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453666687011719 y=0.647544860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453666687011719 × 216)
    floor (0.453666687011719 × 65536)
    floor (29731.5)     		tx = 29731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647544860839844 × 216)
    floor (0.647544860839844 × 65536)
    floor (42437.5)     		ty = 42437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29731 / 42437 ti = "16/29731/42437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29731/42437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29731 ÷ 216
    29731 ÷ 65536     		x = 0.453659057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42437 ÷ 216
    42437 ÷ 65536     		y = 0.647537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453659057617188 × 2 - 1) × π
    -0.092681884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29116873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647537231445312 × 2 - 1) × π
    -0.295074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.927003764852646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29116873} λ = -0.29116873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927003764852646))-π/2
    2×atan(0.39573765887446)-π/2
    2×0.376826553187773-π/2
    0.753653106375545-1.57079632675     		φ = -0.81714322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29116873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.682739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81714322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.818858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29731 KachelY 42437 -0.29116873 -0.81714322 -16.682739 -46.818858
    Oben rechts KachelX + 1 29732 KachelY 42437 -0.29107285 -0.81714322 -16.677246 -46.818858
    Unten links KachelX 29731 KachelY + 1 42438 -0.29116873 -0.81720883 -16.682739 -46.822617
    Unten rechts KachelX + 1 29732 KachelY + 1 42438 -0.29107285 -0.81720883 -16.677246 -46.822617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81714322--0.81720883) × R
    6.56100000000492e-05 × 6371000     		dl = 418.001310000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81714322--0.81720883) × R
    6.56100000000492e-05 × 6371000     		dr = 418.001310000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29116873--0.29107285) × cos(-0.81714322) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684307143362759 × 6371000     		do = 418.010031297681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29116873--0.29107285) × cos(-0.81720883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.684259299478616 × 6371000     		du = 417.980805790244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81714322)-sin(-0.81720883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684307143362759-0.684259299478616)×R²
    abs(-0.29107285--0.29116873)×4.78438841423623e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78438841423623e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78438841423623e-05×40589641000000     		ar = 174722.632588362m²