Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29731 / 29853
↖ ↑ ↗
← S 81.356335°
E146.634522°		 ← 183.59 m → S 81.356335°
E146.645508°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 81.357986°
E146.634522°		 ← 183.55 m →
33 694 m²		 S 81.357986°
E146.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907333374023438 y=0.911056518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907333374023438 × 215)
    floor (0.907333374023438 × 32768)
    floor (29731.5)     		tx = 29731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911056518554688 × 215)
    floor (0.911056518554688 × 32768)
    floor (29853.5)     		ty = 29853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29731 / 29853 ti = "15/29731/29853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29731/29853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29731 ÷ 215
    29731 ÷ 32768     		x = 0.907318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29853 ÷ 215
    29853 ÷ 32768     		y = 0.911041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907318115234375 × 2 - 1) × π
    0.81463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55925520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.82208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58264840393015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55925520} λ = 2.55925520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58264840393015))-π/2
    2×atan(0.0755735893594228)-π/2
    2×0.0754302042163665-π/2
    0.150860408432733-1.57079632675     		φ = -1.41993592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55925520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.634522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41993592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.356335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29731 KachelY 29853 2.55925520 -1.41993592 146.634522 -81.356335
    Oben rechts KachelX + 1 29732 KachelY 29853 2.55944694 -1.41993592 146.645508 -81.356335
    Unten links KachelX 29731 KachelY + 1 29854 2.55925520 -1.41996473 146.634522 -81.357986
    Unten rechts KachelX + 1 29732 KachelY + 1 29854 2.55944694 -1.41996473 146.645508 -81.357986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41993592--1.41996473) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dl = 183.548510000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41993592--1.41996473) × R
    2.88100000001013e-05 × 6371000     		dr = 183.548510000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55925520-2.55944694) × cos(-1.41993592) × R
    0.000191739999999996 × 0.150288822408175 × 6371000     		do = 183.589149389226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55925520-2.55944694) × cos(-1.41996473) × R
    0.000191739999999996 × 0.150260339565916 × 6371000     		du = 183.554355445813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41993592)-sin(-1.41996473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150288822408175-0.150260339565916)×R²
    abs(2.55944694-2.55925520)×2.8482842258537e-05×R²
    0.000191739999999996×2.8482842258537e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.8482842258537e-05×40589641000000     		ar = 33694.3216365003m²