Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29731 / 17881
↖ ↑ ↗
← N 63.012613°
W 16.682739°		 ← 277.20 m → N 63.012613°
W 16.677246°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 63.010120°
W 16.682739°		 ← 277.22 m →
76 844 m²		 N 63.010120°
W 16.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453666687011719 y=0.272850036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453666687011719 × 216)
    floor (0.453666687011719 × 65536)
    floor (29731.5)     		tx = 29731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272850036621094 × 216)
    floor (0.272850036621094 × 65536)
    floor (17881.5)     		ty = 17881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29731 / 17881 ti = "16/29731/17881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29731/17881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29731 ÷ 216
    29731 ÷ 65536     		x = 0.453659057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17881 ÷ 216
    17881 ÷ 65536     		y = 0.272842407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453659057617188 × 2 - 1) × π
    -0.092681884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29116873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272842407226562 × 2 - 1) × π
    0.454315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42727324928755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29116873} λ = -0.29116873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42727324928755))-π/2
    2×atan(4.16732044148274)-π/2
    2×1.33528694728749-π/2
    2.67057389457497-1.57079632675     		φ = 1.09977757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29116873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.682739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09977757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.012613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29731 KachelY 17881 -0.29116873 1.09977757 -16.682739 63.012613
    Oben rechts KachelX + 1 29732 KachelY 17881 -0.29107285 1.09977757 -16.677246 63.012613
    Unten links KachelX 29731 KachelY + 1 17882 -0.29116873 1.09973406 -16.682739 63.010120
    Unten rechts KachelX + 1 29732 KachelY + 1 17882 -0.29107285 1.09973406 -16.677246 63.010120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09977757-1.09973406) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09977757-1.09973406) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29116873--0.29107285) × cos(1.09977757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453794341456183 × 6371000     		do = 277.200945094114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29116873--0.29107285) × cos(1.09973406) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453833113068033 × 6371000     		du = 277.224628790594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09977757)-sin(1.09973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453794341456183-0.453833113068033)×R²
    abs(-0.29107285--0.29116873)×3.87716118501191e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87716118501191e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87716118501191e-05×40589641000000     		ar = 76843.9971927463m²