Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29730 / 42436
↖ ↑ ↗
← S 46.815099°
W 16.688232°		 ← 418 m → S 46.815099°
W 16.682739°		 →
↑
418 m
↓
↑
418 m
↓
S 46.818858°
W 16.688232°		 ← 417.97 m →
174 717 m²		 S 46.818858°
W 16.682739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453651428222656 y=0.647529602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453651428222656 × 216)
    floor (0.453651428222656 × 65536)
    floor (29730.5)     		tx = 29730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647529602050781 × 216)
    floor (0.647529602050781 × 65536)
    floor (42436.5)     		ty = 42436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29730 / 42436 ti = "16/29730/42436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29730/42436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29730 ÷ 216
    29730 ÷ 65536     		x = 0.453643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42436 ÷ 216
    42436 ÷ 65536     		y = 0.64752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.09271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29126460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.2950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.926907891053406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29126460} λ = -0.29126460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926907891053406))-π/2
    2×atan(0.395775601566145)-π/2
    2×0.37685935789726-π/2
    0.75371871579452-1.57079632675     		φ = -0.81707761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29126460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.688232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81707761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.815099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29730 KachelY 42436 -0.29126460 -0.81707761 -16.688232 -46.815099
    Oben rechts KachelX + 1 29731 KachelY 42436 -0.29116873 -0.81707761 -16.682739 -46.815099
    Unten links KachelX 29730 KachelY + 1 42437 -0.29126460 -0.81714322 -16.688232 -46.818858
    Unten rechts KachelX + 1 29731 KachelY + 1 42437 -0.29116873 -0.81714322 -16.682739 -46.818858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81707761--0.81714322) × R
    6.56099999999382e-05 × 6371000     		dl = 418.001309999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81707761--0.81714322) × R
    6.56099999999382e-05 × 6371000     		dr = 418.001309999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29126460--0.29116873) × cos(-0.81707761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684354984301183 × 6371000     		do = 417.995654749695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29126460--0.29116873) × cos(-0.81714322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684307143362759 × 6371000     		du = 417.9664340896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81707761)-sin(-0.81714322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684354984301183-0.684307143362759)×R²
    abs(-0.29116873--0.29126460)×4.78409384243594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78409384243594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78409384243594e-05×40589641000000     		ar = 174716.624184926m²