Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29730 / 41061
↖ ↑ ↗
← S 41.397415°
W 16.688232°		 ← 458.18 m → S 41.397415°
W 16.682739°		 →
↑
458.20 m
↓
↑
458.20 m
↓
S 41.401536°
W 16.688232°		 ← 458.15 m →
209 931 m²		 S 41.401536°
W 16.682739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453651428222656 y=0.626548767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453651428222656 × 216)
    floor (0.453651428222656 × 65536)
    floor (29730.5)     		tx = 29730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626548767089844 × 216)
    floor (0.626548767089844 × 65536)
    floor (41061.5)     		ty = 41061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29730 / 41061 ti = "16/29730/41061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29730/41061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29730 ÷ 216
    29730 ÷ 65536     		x = 0.453643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41061 ÷ 216
    41061 ÷ 65536     		y = 0.626541137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.09271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29126460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626541137695312 × 2 - 1) × π
    -0.253082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.795081417098251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29126460} λ = -0.29126460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795081417098251))-π/2
    2×atan(0.451544469985488)-π/2
    2×0.424137566043714-π/2
    0.848275132087429-1.57079632675     		φ = -0.72252119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29126460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.688232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72252119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.397415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29730 KachelY 41061 -0.29126460 -0.72252119 -16.688232 -41.397415
    Oben rechts KachelX + 1 29731 KachelY 41061 -0.29116873 -0.72252119 -16.682739 -41.397415
    Unten links KachelX 29730 KachelY + 1 41062 -0.29126460 -0.72259311 -16.688232 -41.401536
    Unten rechts KachelX + 1 29731 KachelY + 1 41062 -0.29116873 -0.72259311 -16.682739 -41.401536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72252119--0.72259311) × R
    7.19200000000031e-05 × 6371000     		dl = 458.20232000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72252119--0.72259311) × R
    7.19200000000031e-05 × 6371000     		dr = 458.20232000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29126460--0.29116873) × cos(-0.72252119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750140907473616 × 6371000     		do = 458.176892061576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29126460--0.29116873) × cos(-0.72259311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750093346418455 × 6371000     		du = 458.147842350756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72252119)-sin(-0.72259311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750140907473616-0.750093346418455)×R²
    abs(-0.29116873--0.29126460)×4.75610551606831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75610551606831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75610551606831e-05×40589641000000     		ar = 209931.059680753m²