Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29728 / 29728
↖ ↑ ↗
← S 81.147481°
E146.601562°		 ← 188 m → S 81.147481°
E146.612549°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
S 81.149171°
E146.601562°		 ← 187.96 m →
35 330 m²		 S 81.149171°
E146.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907241821289062 y=0.907241821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907241821289062 × 215)
    floor (0.907241821289062 × 32768)
    floor (29728.5)     		tx = 29728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907241821289062 × 215)
    floor (0.907241821289062 × 32768)
    floor (29728.5)     		ty = 29728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29728 / 29728 ti = "15/29728/29728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29728/29728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29728 ÷ 215
    29728 ÷ 32768     		x = 0.9072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29728 ÷ 215
    29728 ÷ 32768     		y = 0.9072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55867995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    -0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55867995} λ = 2.55867995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55867995412012))-π/2
    2×atan(0.0774068536296349)-π/2
    2×0.0772528044026952-π/2
    0.15450560880539-1.57079632675     		φ = -1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55867995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29728 KachelY 29728 2.55867995 -1.41629072 146.601562 -81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 29729 KachelY 29728 2.55887170 -1.41629072 146.612549 -81.147481
    Unten links KachelX 29728 KachelY + 1 29729 2.55867995 -1.41632022 146.601562 -81.149171
    Unten rechts KachelX + 1 29729 KachelY + 1 29729 2.55887170 -1.41632022 146.612549 -81.149171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41629072--1.41632022) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dl = 187.944500000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41629072--1.41632022) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dr = 187.944500000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55867995-2.55887170) × cos(-1.41629072) × R
    0.000191749999999935 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 188.000036221553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55867995-2.55887170) × cos(-1.41632022) × R
    0.000191749999999935 × 0.153862465601388 × 6371000     		du = 187.964427080367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41629072)-sin(-1.41632022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.153862465601388)×R²
    abs(2.55887170-2.55867995)×2.9148655125627e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9148655125627e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9148655125627e-05×40589641000000     		ar = 35330.2265387627m²