Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29727 / 42465
↖ ↑ ↗
← S 46.924007°
W 16.704712°		 ← 417.15 m → S 46.924007°
W 16.699219°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
S 46.927759°
W 16.704712°		 ← 417.12 m →
174 017 m²		 S 46.927759°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453605651855469 y=0.647972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453605651855469 × 216)
    floor (0.453605651855469 × 65536)
    floor (29727.5)     		tx = 29727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647972106933594 × 216)
    floor (0.647972106933594 × 65536)
    floor (42465.5)     		ty = 42465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29727 / 42465 ti = "16/29727/42465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29727/42465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29727 ÷ 216
    29727 ÷ 65536     		x = 0.453598022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42465 ÷ 216
    42465 ÷ 65536     		y = 0.647964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453598022460938 × 2 - 1) × π
    -0.092803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29155222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.295928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.929688231231369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29155222} λ = -0.29155222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929688231231369))-π/2
    2×atan(0.394676739073299)-π/2
    2×0.375908952337702-π/2
    0.751817904675405-1.57079632675     		φ = -0.81897842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29155222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.704712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81897842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.924007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29727 KachelY 42465 -0.29155222 -0.81897842 -16.704712 -46.924007
    Oben rechts KachelX + 1 29728 KachelY 42465 -0.29145635 -0.81897842 -16.699219 -46.924007
    Unten links KachelX 29727 KachelY + 1 42466 -0.29155222 -0.81904390 -16.704712 -46.927759
    Unten rechts KachelX + 1 29728 KachelY + 1 42466 -0.29145635 -0.81904390 -16.699219 -46.927759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81897842--0.81904390) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dl = 417.173080000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81897842--0.81904390) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dr = 417.173080000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.81897842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682967775122667 × 6371000     		do = 417.148364349026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.81904390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682919943890452 × 6371000     		du = 417.119149617365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81897842)-sin(-0.81904390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682967775122667-0.682919943890452)×R²
    abs(-0.29145635--0.29155222)×4.78312322159669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78312322159669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78312322159669e-05×40589641000000     		ar = 174016.974234745m²