Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29727 / 41050
↖ ↑ ↗
← S 41.352072°
W 16.704712°		 ← 458.50 m → S 41.352072°
W 16.699219°		 →
↑
458.52 m
↓
↑
458.52 m
↓
S 41.356196°
W 16.704712°		 ← 458.47 m →
210 224 m²		 S 41.356196°
W 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453605651855469 y=0.626380920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453605651855469 × 216)
    floor (0.453605651855469 × 65536)
    floor (29727.5)     		tx = 29727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626380920410156 × 216)
    floor (0.626380920410156 × 65536)
    floor (41050.5)     		ty = 41050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29727 / 41050 ti = "16/29727/41050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29727/41050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29727 ÷ 216
    29727 ÷ 65536     		x = 0.453598022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41050 ÷ 216
    41050 ÷ 65536     		y = 0.626373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453598022460938 × 2 - 1) × π
    -0.092803955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29155222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.25274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.79402680530661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29155222} λ = -0.29155222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79402680530661))-π/2
    2×atan(0.452020925301522)-π/2
    2×0.424533257683975-π/2
    0.84906651536795-1.57079632675     		φ = -0.72172981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29155222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.704712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72172981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.352072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29727 KachelY 41050 -0.29155222 -0.72172981 -16.704712 -41.352072
    Oben rechts KachelX + 1 29728 KachelY 41050 -0.29145635 -0.72172981 -16.699219 -41.352072
    Unten links KachelX 29727 KachelY + 1 41051 -0.29155222 -0.72180178 -16.704712 -41.356196
    Unten rechts KachelX + 1 29728 KachelY + 1 41051 -0.29145635 -0.72180178 -16.699219 -41.356196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72172981--0.72180178) × R
    7.19699999999213e-05 × 6371000     		dl = 458.520869999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72172981--0.72180178) × R
    7.19699999999213e-05 × 6371000     		dr = 458.520869999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.72172981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750663994718004 × 6371000     		do = 458.496387353092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29155222--0.29145635) × cos(-0.72180178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750616443334528 × 6371000     		du = 458.467343549617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72172981)-sin(-0.72180178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750663994718004-0.750616443334528)×R²
    abs(-0.29145635--0.29155222)×4.75513834766739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75513834766739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75513834766739e-05×40589641000000     		ar = 210223.503916452m²