Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29725 / 21537
↖ ↑ ↗
← N 76.163336°
W 98.357849°		 ← 73.03 m → N 76.163336°
W 98.355103°		 →
↑
73.08 m
↓
↑
73.08 m
↓
N 76.162679°
W 98.357849°		 ← 73.03 m →
5 337 m²		 N 76.162679°
W 98.355103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226787567138672 y=0.164318084716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226787567138672 × 217)
    floor (0.226787567138672 × 131072)
    floor (29725.5)     		tx = 29725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164318084716797 × 217)
    floor (0.164318084716797 × 131072)
    floor (21537.5)     		ty = 21537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29725 / 21537 ti = "17/29725/21537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29725/21537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29725 ÷ 217
    29725 ÷ 131072     		x = 0.226783752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21537 ÷ 217
    21537 ÷ 131072     		y = 0.164314270019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226783752441406 × 2 - 1) × π
    -0.546432495117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.71666831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164314270019531 × 2 - 1) × π
    0.671371459960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10917564638285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71666831} λ = -1.71666831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10917564638285))-π/2
    2×atan(8.24144461890144)-π/2
    2×1.45004865266038-π/2
    2.90009730532076-1.57079632675     		φ = 1.32930098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71666831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.357849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32930098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.163336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29725 KachelY 21537 -1.71666831 1.32930098 -98.357849 76.163336
    Oben rechts KachelX + 1 29726 KachelY 21537 -1.71662038 1.32930098 -98.355103 76.163336
    Unten links KachelX 29725 KachelY + 1 21538 -1.71666831 1.32928951 -98.357849 76.162679
    Unten rechts KachelX + 1 29726 KachelY + 1 21538 -1.71662038 1.32928951 -98.355103 76.162679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32930098-1.32928951) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dl = 73.0753700000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32930098-1.32928951) × R
    1.14700000000134e-05 × 6371000     		dr = 73.0753700000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71666831--1.71662038) × cos(1.32930098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239154847254422 × 6371000     		do = 73.0288096419951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71666831--1.71662038) × cos(1.32928951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23916598439582 × 6371000     		du = 73.0322105021007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32930098)-sin(1.32928951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239154847254422-0.23916598439582)×R²
    abs(-1.71662038--1.71666831)×1.11371413979156e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11371413979156e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11371413979156e-05×40589641000000     		ar = 5336.73154501192m²