Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29721 / 29760
↖ ↑ ↗
← S 81.201420°
E146.524658°		 ← 186.86 m → S 81.201420°
E146.535645°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
S 81.203100°
E146.524658°		 ← 186.83 m →
34 914 m²		 S 81.203100°
E146.535645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907028198242188 y=0.908218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907028198242188 × 215)
    floor (0.907028198242188 × 32768)
    floor (29721.5)     		tx = 29721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908218383789062 × 215)
    floor (0.908218383789062 × 32768)
    floor (29760.5)     		ty = 29760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29721 / 29760 ti = "15/29721/29760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29721/29760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29721 ÷ 215
    29721 ÷ 32768     		x = 0.907012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29760 ÷ 215
    29760 ÷ 32768     		y = 0.908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907012939453125 × 2 - 1) × π
    0.81402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55733772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908203125 × 2 - 1) × π
    -0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55733772} λ = 2.55733772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56481587727148))-π/2
    2×atan(0.0769333453153022)-π/2
    2×0.0767820992516802-π/2
    0.15356419850336-1.57079632675     		φ = -1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55733772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29721 KachelY 29760 2.55733772 -1.41723213 146.524658 -81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 29722 KachelY 29760 2.55752947 -1.41723213 146.535645 -81.201420
    Unten links KachelX 29721 KachelY + 1 29761 2.55733772 -1.41726146 146.524658 -81.203100
    Unten rechts KachelX + 1 29722 KachelY + 1 29761 2.55752947 -1.41726146 146.535645 -81.203100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41723213--1.41726146) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41723213--1.41726146) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55733772-2.55752947) × cos(-1.41723213) × R
    0.000191749999999935 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 186.863589535933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55733772-2.55752947) × cos(-1.41726146) × R
    0.000191749999999935 × 0.152932365610964 × 6371000     		du = 186.82818042564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41723213)-sin(-1.41726146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152932365610964)×R²
    abs(2.55752947-2.55733772)×2.8984915385194e-05×R²
    0.000191749999999935×2.8984915385194e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.8984915385194e-05×40589641000000     		ar = 34914.2892598023m²