Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29721 / 19418
↖ ↑ ↗
← N 58.921664°
W 16.737671°		 ← 315.33 m → N 58.921664°
W 16.732178°		 →
↑
315.30 m
↓
↑
315.30 m
↓
N 58.918828°
W 16.737671°		 ← 315.35 m →
99 427 m²		 N 58.918828°
W 16.732178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453514099121094 y=0.296302795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453514099121094 × 216)
    floor (0.453514099121094 × 65536)
    floor (29721.5)     		tx = 29721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296302795410156 × 216)
    floor (0.296302795410156 × 65536)
    floor (19418.5)     		ty = 19418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29721 / 19418 ti = "16/29721/19418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29721/19418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29721 ÷ 216
    29721 ÷ 65536     		x = 0.453506469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19418 ÷ 216
    19418 ÷ 65536     		y = 0.296295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453506469726562 × 2 - 1) × π
    -0.092987060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29212747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296295166015625 × 2 - 1) × π
    0.40740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2799152198555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29212747} λ = -0.29212747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2799152198555))-π/2
    2×atan(3.596334814859)-π/2
    2×1.29958667899362-π/2
    2.59917335798723-1.57079632675     		φ = 1.02837703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29212747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.737671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02837703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.921664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29721 KachelY 19418 -0.29212747 1.02837703 -16.737671 58.921664
    Oben rechts KachelX + 1 29722 KachelY 19418 -0.29203159 1.02837703 -16.732178 58.921664
    Unten links KachelX 29721 KachelY + 1 19419 -0.29212747 1.02832754 -16.737671 58.918828
    Unten rechts KachelX + 1 29722 KachelY + 1 19419 -0.29203159 1.02832754 -16.732178 58.918828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02837703-1.02832754) × R
    4.94899999998744e-05 × 6371000     		dl = 315.3007899992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02837703-1.02832754) × R
    4.94899999998744e-05 × 6371000     		dr = 315.3007899992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29212747--0.29203159) × cos(1.02837703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.51620953687521 × 6371000     		do = 315.327359590313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29212747--0.29203159) × cos(1.02832754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516251922563489 × 6371000     		du = 315.353250950728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02837703)-sin(1.02832754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51620953687521-0.516251922563489)×R²
    abs(-0.29203159--0.29212747)×4.23856882780793e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23856882780793e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23856882780793e-05×40589641000000     		ar = 99427.0473906476m²