Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29720 / 29752
↖ ↑ ↗
← S 81.187965°
E146.513672°		 ← 187.15 m → S 81.187965°
E146.524658°		 →
↑
187.12 m
↓
↑
187.12 m
↓
S 81.189648°
E146.513672°		 ← 187.11 m →
35 015 m²		 S 81.189648°
E146.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906997680664062 y=0.907974243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906997680664062 × 215)
    floor (0.906997680664062 × 32768)
    floor (29720.5)     		tx = 29720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907974243164062 × 215)
    floor (0.907974243164062 × 32768)
    floor (29752.5)     		ty = 29752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29720 / 29752 ti = "15/29720/29752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29720/29752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29720 ÷ 215
    29720 ÷ 32768     		x = 0.906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29752 ÷ 215
    29752 ÷ 32768     		y = 0.907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55714597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.81591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56328189648364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55714597} λ = 2.55714597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56328189648364))-π/2
    2×atan(0.0770514501510755)-π/2
    2×0.0768995081076626-π/2
    0.153799016215325-1.57079632675     		φ = -1.41699731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55714597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41699731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.187965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29720 KachelY 29752 2.55714597 -1.41699731 146.513672 -81.187965
    Oben rechts KachelX + 1 29721 KachelY 29752 2.55733772 -1.41699731 146.524658 -81.187965
    Unten links KachelX 29720 KachelY + 1 29753 2.55714597 -1.41702668 146.513672 -81.189648
    Unten rechts KachelX + 1 29721 KachelY + 1 29753 2.55733772 -1.41702668 146.524658 -81.189648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41699731--1.41702668) × R
    2.93700000000285e-05 × 6371000     		dl = 187.116270000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41699731--1.41702668) × R
    2.93700000000285e-05 × 6371000     		dr = 187.116270000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55714597-2.55733772) × cos(-1.41699731) × R
    0.000191749999999935 × 0.153193402985605 × 6371000     		do = 187.147073928219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55714597-2.55733772) × cos(-1.41702668) × R
    0.000191749999999935 × 0.153164379596376 × 6371000     		du = 187.111617816769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41699731)-sin(-1.41702668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153193402985605-0.153164379596376)×R²
    abs(2.55733772-2.55714597)×2.90233892285552e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90233892285552e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90233892285552e-05×40589641000000     		ar = 35014.9452096234m²