Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29719 / 29777
↖ ↑ ↗
← S 81.229942°
E146.502686°		 ← 186.25 m → S 81.229942°
E146.513672°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
S 81.231617°
E146.502686°		 ← 186.22 m →
34 682 m²		 S 81.231617°
E146.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906967163085938 y=0.908737182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906967163085938 × 215)
    floor (0.906967163085938 × 32768)
    floor (29719.5)     		tx = 29719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908737182617188 × 215)
    floor (0.908737182617188 × 32768)
    floor (29777.5)     		ty = 29777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29719 / 29777 ti = "15/29719/29777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29719/29777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29719 ÷ 215
    29719 ÷ 32768     		x = 0.906951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29777 ÷ 215
    29777 ÷ 32768     		y = 0.908721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906951904296875 × 2 - 1) × π
    0.81390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55695423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.81744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56807558644565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55695423} λ = 2.55695423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56807558644565))-π/2
    2×atan(0.0766829732754946)-π/2
    2×0.0765331956184673-π/2
    0.153066391236935-1.57079632675     		φ = -1.41772994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55695423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.502686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41772994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.229942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29719 KachelY 29777 2.55695423 -1.41772994 146.502686 -81.229942
    Oben rechts KachelX + 1 29720 KachelY 29777 2.55714597 -1.41772994 146.513672 -81.229942
    Unten links KachelX 29719 KachelY + 1 29778 2.55695423 -1.41775917 146.502686 -81.231617
    Unten rechts KachelX + 1 29720 KachelY + 1 29778 2.55714597 -1.41775917 146.513672 -81.231617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41772994--1.41775917) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41772994--1.41775917) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55695423-2.55714597) × cos(-1.41772994) × R
    0.000191739999999996 × 0.152469379736216 × 6371000     		do = 186.252864884728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55695423-2.55714597) × cos(-1.41775917) × R
    0.000191739999999996 × 0.152440491422546 × 6371000     		du = 186.217575627358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41772994)-sin(-1.41775917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152469379736216-0.152440491422546)×R²
    abs(2.55714597-2.55695423)×2.88883136691787e-05×R²
    0.000191739999999996×2.88883136691787e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.88883136691787e-05×40589641000000     		ar = 34681.5291165509m²