Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29719 / 19419
↖ ↑ ↗
← N 58.918828°
W 16.748657°		 ← 315.32 m → N 58.918828°
W 16.743164°		 →
↑
315.36 m
↓
↑
315.36 m
↓
N 58.915992°
W 16.748657°		 ← 315.35 m →
99 445 m²		 N 58.915992°
W 16.743164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453483581542969 y=0.296318054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453483581542969 × 216)
    floor (0.453483581542969 × 65536)
    floor (29719.5)     		tx = 29719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296318054199219 × 216)
    floor (0.296318054199219 × 65536)
    floor (19419.5)     		ty = 19419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29719 / 19419 ti = "16/29719/19419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29719/19419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29719 ÷ 216
    29719 ÷ 65536     		x = 0.453475952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19419 ÷ 216
    19419 ÷ 65536     		y = 0.296310424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453475952148438 × 2 - 1) × π
    -0.093048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29231921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296310424804688 × 2 - 1) × π
    0.407379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27981934605626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29231921} λ = -0.29231921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27981934605626))-π/2
    2×atan(3.5959900371048)-π/2
    2×1.29956193249294-π/2
    2.59912386498588-1.57079632675     		φ = 1.02832754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29231921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.748657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02832754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.918828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29719 KachelY 19419 -0.29231921 1.02832754 -16.748657 58.918828
    Oben rechts KachelX + 1 29720 KachelY 19419 -0.29222334 1.02832754 -16.743164 58.918828
    Unten links KachelX 29719 KachelY + 1 19420 -0.29231921 1.02827804 -16.748657 58.915992
    Unten rechts KachelX + 1 29720 KachelY + 1 19420 -0.29222334 1.02827804 -16.743164 58.915992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02832754-1.02827804) × R
    4.95000000000356e-05 × 6371000     		dl = 315.364500000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02832754-1.02827804) × R
    4.95000000000356e-05 × 6371000     		dr = 315.364500000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29231921--0.29222334) × cos(1.02832754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516251922563489 × 6371000     		do = 315.320360540759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29231921--0.29222334) × cos(1.02827804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516294315551444 × 6371000     		du = 315.346253659336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02832754)-sin(1.02827804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516251922563489-0.516294315551444)×R²
    abs(-0.29222334--0.29231921)×4.23929879551643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23929879551643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23929879551643e-05×40589641000000     		ar = 99444.9307475811m²