Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29718 / 14930
↖ ↑ ↗
← N 69.499918°
W 16.754151°		 ← 213.93 m → N 69.499918°
W 16.748657°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
N 69.497994°
W 16.754151°		 ← 213.94 m →
45 769 m²		 N 69.497994°
W 16.748657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453468322753906 y=0.227821350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453468322753906 × 216)
    floor (0.453468322753906 × 65536)
    floor (29718.5)     		tx = 29718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227821350097656 × 216)
    floor (0.227821350097656 × 65536)
    floor (14930.5)     		ty = 14930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29718 / 14930 ti = "16/29718/14930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29718/14930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29718 ÷ 216
    29718 ÷ 65536     		x = 0.453460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14930 ÷ 216
    14930 ÷ 65536     		y = 0.227813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.09307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29241509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227813720703125 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71019683084512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29241509} λ = -0.29241509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71019683084512))-π/2
    2×atan(5.53004985489389)-π/2
    2×1.39189936316174-π/2
    2.78379872632348-1.57079632675     		φ = 1.21300240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29241509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.754151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21300240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.499918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29718 KachelY 14930 -0.29241509 1.21300240 -16.754151 69.499918
    Oben rechts KachelX + 1 29719 KachelY 14930 -0.29231921 1.21300240 -16.748657 69.499918
    Unten links KachelX 29718 KachelY + 1 14931 -0.29241509 1.21296882 -16.754151 69.497994
    Unten rechts KachelX + 1 29719 KachelY + 1 14931 -0.29231921 1.21296882 -16.748657 69.497994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21300240-1.21296882) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21300240-1.21296882) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29241509--0.29231921) × cos(1.21300240) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350208720827783 × 6371000     		do = 213.925515426542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29241509--0.29231921) × cos(1.21296882) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350240174065623 × 6371000     		du = 213.944728683427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21300240)-sin(1.21296882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350208720827783-0.350240174065623)×R²
    abs(-0.29231921--0.29241509)×3.14532378400956e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14532378400956e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14532378400956e-05×40589641000000     		ar = 45768.8906549705m²