Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29717 / 19420
↖ ↑ ↗
← N 58.915992°
W 16.759643°		 ← 315.35 m → N 58.915992°
W 16.754151°		 →
↑
315.36 m
↓
↑
315.36 m
↓
N 58.913156°
W 16.759643°		 ← 315.37 m →
99 453 m²		 N 58.913156°
W 16.754151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453453063964844 y=0.296333312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453453063964844 × 216)
    floor (0.453453063964844 × 65536)
    floor (29717.5)     		tx = 29717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296333312988281 × 216)
    floor (0.296333312988281 × 65536)
    floor (19420.5)     		ty = 19420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29717 / 19420 ti = "16/29717/19420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29717/19420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29717 ÷ 216
    29717 ÷ 65536     		x = 0.453445434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19420 ÷ 216
    19420 ÷ 65536     		y = 0.29632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453445434570312 × 2 - 1) × π
    -0.093109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29251096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29632568359375 × 2 - 1) × π
    0.4073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27972347225702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29251096} λ = -0.29251096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27972347225702))-π/2
    2×atan(3.59564529240417)-π/2
    2×1.29953718396025-π/2
    2.5990743679205-1.57079632675     		φ = 1.02827804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29251096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.759643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02827804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.915992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29717 KachelY 19420 -0.29251096 1.02827804 -16.759643 58.915992
    Oben rechts KachelX + 1 29718 KachelY 19420 -0.29241509 1.02827804 -16.754151 58.915992
    Unten links KachelX 29717 KachelY + 1 19421 -0.29251096 1.02822854 -16.759643 58.913156
    Unten rechts KachelX + 1 29718 KachelY + 1 19421 -0.29241509 1.02822854 -16.754151 58.913156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02827804-1.02822854) × R
    4.95000000000356e-05 × 6371000     		dl = 315.364500000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02827804-1.02822854) × R
    4.95000000000356e-05 × 6371000     		dr = 315.364500000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29251096--0.29241509) × cos(1.02827804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516294315551444 × 6371000     		do = 315.346253659336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29251096--0.29241509) × cos(1.02822854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.516336707274349 × 6371000     		du = 315.372146005235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02827804)-sin(1.02822854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516294315551444-0.516336707274349)×R²
    abs(-0.29241509--0.29251096)×4.23917229050996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23917229050996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23917229050996e-05×40589641000000     		ar = 99453.0963959574m²