Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29716 / 14932
↖ ↑ ↗
← N 69.496070°
W 16.765137°		 ← 213.96 m → N 69.496070°
W 16.759643°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
N 69.494146°
W 16.765137°		 ← 213.98 m →
45 777 m²		 N 69.494146°
W 16.759643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453437805175781 y=0.227851867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453437805175781 × 216)
    floor (0.453437805175781 × 65536)
    floor (29716.5)     		tx = 29716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227851867675781 × 216)
    floor (0.227851867675781 × 65536)
    floor (14932.5)     		ty = 14932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29716 / 14932 ti = "16/29716/14932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29716/14932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29716 ÷ 216
    29716 ÷ 65536     		x = 0.45343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14932 ÷ 216
    14932 ÷ 65536     		y = 0.22784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29260684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22784423828125 × 2 - 1) × π
    0.5443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71000508324664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29260684} λ = -0.29260684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71000508324664))-π/2
    2×atan(5.52898958277031)-π/2
    2×1.39186578430576-π/2
    2.78373156861152-1.57079632675     		φ = 1.21293524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29260684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.765137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21293524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.496070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29716 KachelY 14932 -0.29260684 1.21293524 -16.765137 69.496070
    Oben rechts KachelX + 1 29717 KachelY 14932 -0.29251096 1.21293524 -16.759643 69.496070
    Unten links KachelX 29716 KachelY + 1 14933 -0.29260684 1.21290166 -16.765137 69.494146
    Unten rechts KachelX + 1 29717 KachelY + 1 14933 -0.29251096 1.21290166 -16.759643 69.494146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21293524-1.21290166) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21293524-1.21290166) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29260684--0.29251096) × cos(1.21293524) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350271626908526 × 6371000     		do = 213.963941699065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29260684--0.29251096) × cos(1.21290166) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.350303079356458 × 6371000     		du = 213.983154473433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21293524)-sin(1.21290166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350271626908526-0.350303079356458)×R²
    abs(-0.29251096--0.29260684)×3.14524479315126e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14524479315126e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14524479315126e-05×40589641000000     		ar = 45777.1114502201m²