Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29715 / 29775
↖ ↑ ↗
← S 81.226591°
E146.458741°		 ← 186.32 m → S 81.226591°
E146.469726°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
S 81.228267°
E146.458741°		 ← 186.29 m →
34 718 m²		 S 81.228267°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906845092773438 y=0.908676147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906845092773438 × 215)
    floor (0.906845092773438 × 32768)
    floor (29715.5)     		tx = 29715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908676147460938 × 215)
    floor (0.908676147460938 × 32768)
    floor (29775.5)     		ty = 29775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29715 / 29775 ti = "15/29715/29775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29715/29775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29715 ÷ 215
    29715 ÷ 32768     		x = 0.906829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29775 ÷ 215
    29775 ÷ 32768     		y = 0.908660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906829833984375 × 2 - 1) × π
    0.81365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55618724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.81732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56769209124869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55618724} λ = 2.55618724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56769209124869))-π/2
    2×atan(0.0767123864669828)-π/2
    2×0.0765624367977194-π/2
    0.153124873595439-1.57079632675     		φ = -1.41767145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55618724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41767145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.226591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29715 KachelY 29775 2.55618724 -1.41767145 146.458741 -81.226591
    Oben rechts KachelX + 1 29716 KachelY 29775 2.55637898 -1.41767145 146.469726 -81.226591
    Unten links KachelX 29715 KachelY + 1 29776 2.55618724 -1.41770070 146.458741 -81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 29716 KachelY + 1 29776 2.55637898 -1.41770070 146.469726 -81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41767145--1.41770070) × R
    2.92499999998697e-05 × 6371000     		dl = 186.35174999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41767145--1.41770070) × R
    2.92499999998697e-05 × 6371000     		dr = 186.35174999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55618724-2.55637898) × cos(-1.41767145) × R
    0.000191739999999996 × 0.152527185621701 × 6371000     		do = 186.323479140506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55618724-2.55637898) × cos(-1.41770070) × R
    0.000191739999999996 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 186.288166055842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41767145)-sin(-1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152527185621701-0.152498277802654)×R²
    abs(2.55637898-2.55618724)×2.89078190478242e-05×R²
    0.000191739999999996×2.89078190478242e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.89078190478242e-05×40589641000000     		ar = 34718.4160790113m²